已知圆的半径为R,求其内接正十边形的周长(过程,方法)

Question

请著明过程

Answer 1

十边形边长a可以构造相似三角形用勾股定理计算（我认为比较好)。
也可使用余弦定理：
r^2 + r^2 - 2 * r * r * Cos36° = a^2
所以
a = r * √(2 - 2 * Cos36°)
不过这里Cos36°需要用一些技巧计算出来根式形式。
也就是用三角恒等变形把Cos36°写成方程，再解出方程的根。
我省略计算过程，结果a是个熟悉的数：黄金分割比。
a = r * (√5 - 1) / 2

周长＝10a＝5r*(√5 - 1)

Answer 2

看了这个，你就会了。关健在于方法：

设圆的半径为R.圆的内接正n边形的周长和面积是多少?

圆心到正n边形所有顶点的连线都是半径，长度为R。这些连线将正n边形分成了n个全等的等腰三角形。这样，每个三角形的顶角为2π/n,腰长为R,
设正多边形边长为x,过圆心做等腰三角形底边上的垂线，在分成的一个直角三角形里用三角函数：
sin((2π/n)/2)=(x/2)/R
x=2Rsin(π/n).
设边心距为y,y=Rcos(π/n)
每个等腰三角形的面积=边长×边心距/2
=Rcos(π/n)*2Rsin(π/n)/2
=R*Rsin(π/n)cos(π/n)
=R*Rsin(2π/n)/2
正多边形的面积
=R*Rsin(2π/n)/2 × n
=nR*Rsin(2π/n)/2

Answer 3

正十边形是由十个顶角为36度的等腰三角形（360度/10）组成的
每个三角形的两个腰长为R，所以底边为R×cos72度
所以周长为10×2×R×cos72

Answer 4

正十边形顶点与圆心连线，每边对应张角为36度。
故而边周常为10*2*R*sin18