正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直

Question

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.

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Answer 1

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
如图
因为四边形ABCD为正方形
所以，∠BAM+∠AMB=90°
又，AM⊥MN
所以，∠AMN=90°
所以，∠AMB+∠CMN=90°
所以，∠BAM=∠CMN
而，∠B=∠C=90°
所以，Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）.
因为△ABM∽△MCN
所以AB/MC=BM/CN
所以4/(4-x)=x/CN
所以CN=(-x^2)/4+x
所以y=1/2*(AB+CN)*BC
=1/2*[4+(-x^2)/4+x]*4
=(-x^2)/2+2x+8

=-1/2(x-2)^2+10
当x=2时，即BC的中点
四边形ABCN面积最大，最大面积=10
（3）.
因为Rt△ABM∽Rt△AMN，其中∠ABM=∠AMN=90°
所以，∠BAM=∠MAN
所以：AB/AM=BM/MN

在Rt△ABM中，由勾股定理得到：AM=√(16+x^2)
由(1)的过程知，CN=x(4-x)/4
所以，在Rt△MCN中由勾股定理得到：
MN=√{(4-x)^2+[x(4-x)/4]^2}=√{(4-x)^2+[x^2(4-x)^2/16]}
=√[(4-x)^2*(x^2+16)]/16
=[(4-x)/4]*√(x^2+16)
代入(1)中有：4/√(16+x^2)=x/[(4-x)/4]*√(x^2+16)
所以：x/(4-x)=1
解得：x=2