你好，我想请问下我之前在网站上看到你解答别人关于子数列的收敛性问题，我还有一点疑问。

Question

书本上说由lim xn=a，故对于任意给定
的£>0，存在正整数N，当n>N时，恒有
丨xn-al <£，取K=N，则当k>K时，nk>k>K=N，于是，丨xnk-a丨<£，即lim xnk=a这个推理我还是不懂，我不明白的地方从K=N开始。还有就是nk>=K，为什么题目只写了nk>K？请问能够再讲一遍吗？请指导。

Answer 1

首先我们要了解一个事实：
对于正自然数列{n}：1,2,3,……的任意子列{nk}：n1,n2,n3,……
都必定有：nk≥k
（注意看一下，nk是指子列第k项的数，而k既是指标也是正自然数列的第k项的数）
（这个其实是明显的：所谓子列就是在原数列的基础上按顺序抽取某些项而构成的新的数列）
不妨举个例子：
子列{nk}：n1=1,n2=2,n3=4,n4=5,……
明显有：nk≥k

然后，要利用定义证明一个数列收敛，只需要找到定义中的那个“存在的N ”即可
换言之，现在就要找出“K ”了
而实际上，我们已经找到：K=N
于是，对任意的£>0，存在K=N，当nk≥k>K=N时，根据原级数收敛的定义，有丨xnk-a丨<£
进而得出收敛

希望上述解析能对你有帮助
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