几何意义
(1)切线斜率变化的速度
(2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)
这里以物理学中的瞬时加速度为例:
根据定义有a=(v-v)/Δt=Δv/Δt
可如果加速度并不是恒定的 某点的加速度表达式就为:
a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)
又因为v=dx/dt 所以就有
a=dv/dt=d^2x/dt^2 即元位移对时间的二阶导数
将这种思想应用到函数中 即是数学所谓的二阶导数
f(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数)
f(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)
应用
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f(x)0成立,那么上式的不等号反向。
几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。