函数连续与函数的一致连续是一个概念吗？

Question

如题所述

Answer 1

很明显是两个不同的概念。
一致连续的函数必定是连续的，
但连续函数却未必是一致连续的。
如 y＝1/x 在（0，＋∞）上处处连续，
但不是一致连续。
从图像上看，连续函数要求在某点处有一个矩形框可以框住该点附近的图像即可。
而一致连续函数要求更高，须满足：在每一点处都可以用一个固定大小的矩形框框住该点附近的图像。
数学语言较复杂，多体会理解吧。

Answer 2

函数一致连续性的几何意义体现在哪里?
如果说非一致连续性函数的斜率会有趋近于无穷的一段即会很”陡”,那么一致连续函数根号x在很接近于0时图象也极其”陡”,所以请教各路高手一致连续函数究竟有什么区别于非一致连续函数的几何意义?

“很陡”强调的是“突变”,比如圆的斜率是非常非常“平滑”,也有斜率为“无穷”的时候,关键要抛开直角坐标系的限制来思考.假如在一个巨大的空间,自己爬行在曲线上测量斜率,那么斜率的“突变”会引起极大关注,一旦需要攀登陡峭的悬崖,自然说这里不光滑,就是不连续了

还要注意，一致连续的话，图像一定是平滑的，即里面处处可导