复变函数（4）——孤立奇点，留数，无穷远点

Question

如题所述

Answer 1

在大学数学的学习中，我们通常研究解析函数的积分特性。柯西积分定理告诉我们，解析函数在任何封闭路径上的积分都为零。但当我们引入孤立奇点，即函数在某个点不解析但在去心邻域内解析的情况，情况就变得有趣。研究这些孤立奇点的积分，会直接影响到函数的整体积分行为。

孤立奇点的性质独特，它们源于实际中常见的奇点类型，如[公式]、[公式]、[公式]。孤立奇点的特性使得它们成为研究的重点，尽管像[公式]在[公式]这样的非孤立奇点我们暂不考虑。

除了孤立奇点，解析函数的积分还需考虑路径之外解析的部分。留数定理揭示了计算这部分积分的关键：首先找到路径内部的所有奇点，将它们环绕积分求和，即得到结果。留数，即洛朗级数中负一次方项的系数，是衡量孤立奇点影响的重要工具，记为[公式]。

求留数的直接方法是通过洛朗展开，如计算[公式]时，展开后[公式]即为留数。留数定理进一步阐述，对于解析函数，只要除孤立奇点外解析，其积分与路径无关。

孤立奇点的分类包括可去奇点，如[公式]，其洛朗展开无负幂项，留数为0；极点和零点，前者如[formula]，通过泰勒展开处理；本性奇点则洛朗展开含有无穷多项。这些奇点的不同性质决定了函数解析部分和主要部分。

在复变函数中，无穷远点也被视为孤立奇点。无穷远点留数的定义通过复球面来理解，正向环绕路径的定义与普通奇点相反。无穷远点的分类和留数求法包括换元法，如[公式]的无穷远点留数可以通过[公式]的留数计算得到。

最后，扩展留数定理扩展了留数定理的应用范围，指出在扩展复平面上，所有孤立奇点的留数之和为零，这是对解析函数积分路径无关性的进一步确认。