我知道这个函数的意思是高阶无穷小，所以分子分母都为0，但我想问一下框框的两个式子怎么来？为什么括号

Question

我知道这个函数的意思是高阶无穷小，所以分子分母都为0，但我想问一下框框的两个式子怎么来？为什么括号里的x都变为0？是因为题目给的limx趋近0吗？如果x趋近2那是不是括号里的x全部写成2？

Answer 1

你说的不错，不过若是那样，那前提条件得改几个：分子中的常数项f(0)改为f(2)；题干改为：f(2)·f'(2)≠0；
问题的关键就是你所说的那两个式子是怎么来的。
这里所用的一个关键原理是：如果F(x)在x→t时的极限为A，且F(x)连续，那么F(t)=A；——这是由函数连续性的定义决定的。
本题中所讨论的关键函数F(x)就是分子：F(x)=af(x)+bf(2x)-f(0)；
本题中，不但F(x)在x→0时的极限为0，它的导函数F'(x)在x→0时的极限也为0；——这是高阶无穷小的性质。
又因为F(x)和F'(x)在x=0处连续——这是分析这两个函数的解析式得出的，当然关键就是f(x)是连续可导的。
于是，分别利用函数F(x)和F'(x)在x=0处的连续性和极限值（0），得出它们在x=0处的函数值（也是0），就可以列出这两个等式了：F(0)=0；F'(0)=0；追问

好详细！好厉害，我这个问题问过好多人，但是给出的答案都不完美，你是我问过的答案中最详细的，谢谢~

Answer 2

可用代入法解，或者，图像法