平方求和公式推导方法如下：
1、利用等差数列求和公式推导
根据等差数列求和公式，1+2+3+...+n= n*（n+1）/2，把这个公式平方再展开，可以得到1^2+2^2+3^2+...+n^2=（n*（n+1）/2）^2=n*（n+1）（2n+1）/4。因此，平方求和公式可以表示为n（n+1）*（2n+1）/6，其中除以6是因为在计算过程中多乘了一个6。
2、利用幂级数展开推导
幂级数展开是一种将函数表示为无限级数的方法。我们可以把1^2+2^2+3^2+...+n^2看作是一个关于n的函数f（n），然后用幂级数展开f（n），得到一个无限级数。通过对这个级数的求和，我们可以得到1^2+2^2+3^2+...+n^2的和。
3、利用数学归纳法推导
数学归纳法是一种证明和求和公式有效性的重要方法。我们可以从简单的几步开始，先证明当n=1时，平方求和公式是成立的，然后假设当n=k时公式是成立的，再证明当n=k+1时公式也是成立的。这样就可以通过数学归纳法证明平方求和公式对所有的正整数n都成立。
平方求和公式的用途：
1、数值计算：平方求和公式可以用来计算一系列整数的平方和。在科学计算中，这种计算经常出现，特别是在处理物理问题和数值分析问题时。例如，在解决涉及重力、弹性、波动等的问题时，需要计算一系列的平方和。平方求和公式提供了一种高效、准确的方法来完成这种计算。
2、统计分析：在统计学中，平方求和公式被用来计算方差和标准差。方差是衡量一组数据离散程度的指标，而标准差则是方差的平方根。通过使用平方求和公式，可以更容易地计算这些统计指标，从而更好地分析和理解数据。
3、密码学应用：平方求和公式在密码学中也有应用。在一些密码算法中，平方运算被用来进行加密和解密操作。例如，在RSA算法中，需要将明文消息进行平方运算后再进行一些其他操作来加密信息。平方求和公式可以快速地计算出这些平方值，从而提高了加密和解密的效率。