已知函数f(x)=x+4/x,判断函数在(2,正无穷)上的单调性,并用单调性定义证明

Question

如题所述

Answer 1

解:由题可知: f(x)定义域是(负无穷大,0)u(0,正无穷大)
对任意x≠0有f(x)=
-f(x);即:f(x)是奇函数,判断::[2,正无穷大)和(负无穷大,-2]递增;在(0,2]和[-2,0)上递减;
证明:对于任意
x1>x2>0有
f(x1)-f(x2)=x1+4/x1
-x2-4/x2=(x1-x2)+4(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+4((x2-x1)/x1x2)=(x1-x2)((x1x2-4)/x1x2)
当x1x2>x2的平方>=4的时候
f(x)递增,即:[2,正无穷大)
在(0,2]上递减;
同理可知:(负无穷大,-2]递增;在(0,2]和[-2,0)上递减;

Answer 2

单调递增
利用
单调性
的定义，
任取X1>X2>2，所以X1-X2>0，
F(X1)-F(X2)=X1+4/X1-(X2+4/X2)
=X1-X2+4/X1-4/X2
=(X1-X2)+4(X2-X1)/X1·x2
=(x1-x2)·(1-4/x1·x2)
=(x1-x2)·(x1·x2-4)/x1·x2
(*)
由上式：X1-X2>0，X1·X2-4>0
(*）式大于零，所以F(X1)-F(X2)>0
所以在二到
正无穷
上是单调递增的