判断复合函数的单调性的步骤

Question

如题所述

Answer 1

首先将原函数分解为基本函数:内函数与外函数；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

1、什么是复合函数。

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx。

如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为：y=f[g(x)]。

其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

复合函数的单调性口诀：同增异减

其具体含义为：

内外函数的单调性相同（同），则复合函数为增函数（增）；

内外函数的单调性相反（异），则复合函数为减函数（减）。

关键：因为外函数的定义域是内函数的值域，所以判断外函数的单调性时，判断的是外函数在内函数的值域上的单调性。

2、周期性

设y=f(u)的最小正周期为T1,u=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f[φ（x）]的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+)。

单调（增减）性的决定因素

依y=f(u)，u=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”

函数的单调性也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调递增或单调递减）。

在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。