为什么形如y'=f(y/x)的一阶微分方程叫齐次方程呢？

Question

如题所述

Answer 1

一阶微分方程可化成dy/dx=f（y/x）的叫齐次方程，如（xy-y^2）dx-（x^2-2xy）dy=O，最终可以化简为dy/dx=[y/x-(y/x）^2]/（1-2y/x），即dy/dx=f（y/x）即其右边是只关于y/x的函数！所以叫齐次方程！
定义：形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。（这里所谓的一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。）
公式：当Q(x)≡0时，方程为y'+P(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性方程。（这里所谓的线性，指的是方程的每一项关于y、y'、y"的次数相等。因为y'和P(x)y都是一次的，所以为齐次。）
当Q(x)≠0时，称方程y'+P(x)y=Q(x)为一阶非齐次线性方程。（由于Q(x)中未含y及其导数，所以是关于y及其各阶导数的0次项，因为方程中含一次项又含0次项，所以为非齐次。）

一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法。

Answer 2

因为经过代换u=y/x,
即y=xu
y'=u+xu'
方程化为：
u+xu'=f(u)
xu'=f(u)-u
du/(f(u)-u)=dx/x
这样就分离了变量，可以直接积分了。追问

我知道怎么算 但“齐次”体现在哪呢？

追答

这里的“齐次”，是指原方程中，x, y的次数相同。

追问

这个方程各项次数不同啊

追答

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0
这里P, Q都是关于x, y为2次的，所以是“齐次”方程。

追问

噢 这个我明白了 不过不知道我这样理解是否正确

追答

没错，这两个定义是等价的。齐次，则可以化为y'=f(y/x),
反之，y'=f(y/x)能得到齐次方程。

追问

谢谢你的回答 感激不尽

不知道还能不能追问

为什么dy/dx+p(x)y=q(x) q(x)恒等于0则方程为齐次

不知道我在图中这样的理解是否正确

追答

要注意这是一阶线性方程，这里的”齐次“是指右端的Q(x)=0, 与先前的“齐次”不是同一个概念。

追问

还有 我这样的理解有什么错误呢

这里的齐次和先前的齐次有什么区别呢

追答

这两个“齐次”本来就不是同一个意思，是对不同形式的微分方程来说的。

追问

可以简单地说一说吗

我有点迷糊了

追答

一种是指P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0, 齐次是指P, Q关于x,y次数相同，相当于y'=-P(x, y)/Q(x, y), 可化成y'=f(y/x).
另一种是指 y'+p(x)y=0, 这是一阶齐次线性方程.

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