高二数学 导数

Question

已知函数f(x)=x(lnx-ax)在区间(1/e,e)上有两个极值，则实数a的取值范围是

Answer 1

先求导函数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．
解答：解：函数f（x）=x（lnx-ax），则f′（x）=lnx-ax+x（1/x

-a）=lnx-2ax+1，
令f′（x）=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1，
函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象由两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=1/2

时，直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜1/2

时，y=lnx与y=2ax-1的图象由两个交点．
则实数a的取值范围是（0，1/2 ）
．

Answer 2

解：
令f'(x)=lnx-ax+x(1/x-a)=lnx-2ax+1=0;
在（1/e,e）内有两个实根，故
a=(lnx+1)/(2x);
求a的值域：令t=lnx,则
-1<t<1,x=e^t
故a=(t+1)/(2e^t),
求a的单调区间，然后求值域，-1<t<0时，单调增；0<t<1时单调减；
得：
0<a<1/2;