对向量组 ，如果存在一组不全为零的数 , 使得
那么, 称向量组 线性相关. 如果这样的 个数不存在, 即上述向量等式仅当 时才能成立, 就称向量组 线性无关.
含零向量的向量组 一定线性相关 , 因为
其中, 不全为零.
只有一个向量 组成的向量组线性无关的充分必要条件是 , 线性相关的充分必要条件是 .
考虑齐次线性方程组
(*)
它可以写成
，
或
,
其中
.
由此可见, 向量组 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 有非零解. 也就是说, 向量组 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 只有零解.
例1 向量组 是线性无关的 .
解: 设有 使
,
即
,
得齐次线性方程组
.
解此方程组得 , 所以向量组 线性无关.
例2 设向量组 线性无关, 又设 , 证明向量组 也线性无关.
证明: 设有 使
,
即
,
因为 线性无关, 故有
此线性方程组只有零解 , 也即向量组 线性无关.
定理 9.1 向量组 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余 个向量线性表示 .
证明: 必要性 设 线性相关, 即存在一组不全为零的数 , 使得 . 不妨设 , 则有
,
即 可以由其余 个向量 线性表示. 其实, 在向量等式 中, 任何一个系数 的向量 都可以由其余 个向量线性表示 .
充分性 设向量组 中有一个向量能由其余 个向量线性表示 . 不妨设
,
则
,
因为 不全为零, 所以 线性相关.
二、向量组线性相关和线性无关判别定理 :
设矩阵 的列向量组为 ,
矩阵 的列向量组为 ,其中矩阵 是通过对矩阵 做行初等变换后得到的.我们有以下定理:
定理 9.2 向量组 与向量组 有相同的线性相关性.
证明 :记 .那么,当且仅当齐次线性方程组 有非零解时向量组 线性相关.当且仅当齐次线性方程组 有非零解时向量组 线性相关.由于齐次线性方程组 或者只是对调了 的第 个方程与第 个方程的位置,或者只是用非零数 承 的第 个方程,或者只是把 的第 个方程的 倍加到第 个方程上去,这连个方程组一定是同解的,所以,对应的向量组 有相同的线性相关性.
定理 9.3 如果向量组 线性相关,那么 也线性相关.
证明 :向量组 线性相关,即存在不全为零的数 使
,
于是
,
但是 , 仍不全为零,因此,向量组 线性相关.
推论 9.4 线性无关向量组的任意一个非空部分组仍是线性无关向量组.
定理 9.5 设有 维向量组
与 维向量组
如果向量组 线性无关,那么,向量组 也线性无关.
推论 9.6 维向量组的每一个向量添加 个分量成为 维向量.如果 维向量组线性无关,那么, 维向量组也线性无关.反言之,如果 维向量组线性相关,那么, 维向量组也线性相关.
定义 9.2 在 型的矩阵 中,任取 行 列 ,位于这些行列交叉处的 个元素,不改变它们在 中所处的位置次序而得的 阶矩阵行列式,称为矩阵 的 阶子式.
型矩阵 的 阶子式共有 个.
定理 9.7 设 维向量组 构成矩阵
则向量组 线性无关的充分必要条件是矩阵 中存在一个不等于零的 阶子式.
推论 9.8 个 维向量组线性无关的充分必要条件是它们所构成的 阶矩阵的行列式不等于零.
推论 9.9 当 时, 个 维向量 必线性相关.
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