两向量A(a,c)和B(b,d)的坐标相乘公式A×B=ab+cd,知道这个公式,但不知道此公式是怎么来的,有哪位大神知道这公式怎么证明吗?
证明:
设两个向量a=OA−→−=(x1,y1),b=OB−→−=(x2,y2)a=OA→=(x1,y1),b=OB→=(x2,y2),两向量夹角为θθ,向量点积的定义如下:
a⋅b=|a|⋅|b|cosθ=x1x2+y1y2a⋅b=|a|⋅|b|cosθ=x1x2+y1y2
第一部分可以通过解析几何理解,即一个向量向另一个向量做投影。然而第二部分的定义有什么意义?关键问题是,为什么|a|⋅|b|cosθ=x1x2+y1y2|a|⋅|b|cosθ=x1x2+y1y2?下面就对这个问题进行证明。
∵OA−→−∴BA−→−=OB−→−+BA−→−=OA−→−−OB−→−=(x1−x2,y1−y2)(1)(2)(1)∵OA→=OB→+BA→(2)∴BA→=OA→−OB→=(x1−x2,y1−y2)
在△OAB△OAB中,根据余弦定理:|BA−→−|2=|OA−→−|2+|OB−→−|2−2|OA−→−||OB−→−|cosθ|BA→|2=|OA→|2+|OB→|2−2|OA→||OB→|cosθ,并且|BA−→−|2=(x1−x2)2+(y1−y2)2|BA→|2=(x1−x2)2+(y1−y2)2,|OA−→−|2=x21+y21|OA→|2=x12+y12,|OB−→−|2=x22+y22|OB→|2=x22+y22,所以(x1−x2)2+(y1−y2)2=(x21+y21)+(x22+y22)−2|OA−→−||OB−→−|cosθ(x1−x2)2+(y1−y2)2=(x12+y12)+(x22+y22)−2|OA→||OB→|cosθ,因此便有:
|OA−→−||OB−→−|cosθ=x1x2+y1y2|OA→||OB→|cosθ=x1x2+y1y2
即:|a|⋅|b|cosθ=x1x2+y1y2
参考资料
再用向量公式那个什么模的
即向量AB模长积剩cos90度(代入计即可)
类化成法向量再向量乘法再cos90度