根据确界定理可知，有界数集必有确界，以上确界为例，用反证法证明：
假设有两个上确界a，b，且a<b；a为上确界，则数集中的数显然≤a，所以e=(b-a)/2>0,
取数集中任何数x，x+e<=(a+b)/2<b，显然与b为上确界矛盾。
所以得证一个数集的上确界存在，那么它必定唯一。
确界原理（ supremum and infimum principle ）是刻画实数完备性的命题之一。设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
扩展资料：
确界定理的推广：
若把+∞和-∞补充到数集当中，并规定任意一实数a与+∞，-∞的关系为-∞<a<+∞,则确界的概念可扩充为：若数集S无上界，则规定+∞为S的非正常上确界，记做sup S=+∞；
若S无下界，则定义-∞为S的非正常下确界，记做inf S=-∞，相应的，若S有上确界或者下确界，则此定义分别成为正常上确界和正常下确界。
任意一非空数集必有上确界和下确界（包括正常的和非正常的）