让我们深入探讨Laplace方程的魅力,这一基础且重要的数学工具,它在物理学中扮演着至关重要的角色。在L.C. Evans的《Partial Differential Equations》第二版中,我们能找到它的详细定义和核心概念。接下来的内容将带您走进Laplace方程的数学世界,以及它的基本解。 首先,让我们定义一下Laplace方程,它是位势方程的一种,其形式为: 在开集 中,未知函数u满足 </ 这里的Poisson方程与之紧密相关,但今天我们主要聚焦于Laplace方程。一个关键的概念是调和函数,它满足 从物理角度看,Laplace方程有其直观的解释,但这里暂且不展开。为了更好地理解,我们会在后续章节中回顾Green公式、Gauss公式和散度定理等数学工具,以辅助理解。 在探索Laplace方程的解法时,基本解(fundamental solution)的发现至关重要。由于方程的线性性质,我们可以通过寻找特解来构造一般解。Laplace方程具有旋转不变性,这意味着对于正交变换,解的性质保持不变。因此,我们从寻找具有放射状(radial)特性的函数着手,即寻找具有形式 的解。 接下来,我们将遇到Laplace方程的基本解——函数 。定义为: 对于 ,如果 </ 基本解的性质和估计为我们提供了宝贵的线索,尤其是在处理Poisson方程时。我们发现,通过卷积式的形式似乎可以解决Laplace方程,但需要注意,对于奇点,这种直接的求积方法是不适用的。 为了深入解析,我们回顾数学分析中的概念。在处理边界问题时,单位法向量场和法向导数是不可或缺的工具。让我们定义: 而法向导数则定义为...(具体公式省略) 在解决Poisson方程时,定理1.2提供了关键的解法: 证明过程包括利用连续性和积分性质,以及调和函数的特性,我们略去细节,留给读者自行探索。 最后,我们再次强调,后续的文章将深入探讨Green公式、Gauss公式和散度定理等数学工具,以及调和函数的更深层次性质。让我们共同期待下一次的数学之旅。 同时,祝7月29日那位特别的男生生日快乐,愿他的人生如数学般充满智慧与魅力!
偏微分方程笔记(2)——Laplace(位势)方程的基本解析</
单位法向量场: 当时,定义为沿 的单位外法向量场。</
对于u定义在式(4)中,我们有:
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(2)