函数极限的保号性是微积分学中的一个重要性质，它揭示了函数在某点附近的局部性质。
如果函数f（x）在某一点x0的极限lim x→x0 f（x）大于零，那么在x0的任意邻域内，f（x）的值也大于零。同样地，如果函数f（x）在某一点x0的极限lim x→x0 f（x）小于零，那么在x0的任意邻域内，f（x）的值也小于零。这个性质可以用数学语言表达为：
1、如果lim x→x0 f（x） >； 0，那么对于任意小的正数ε（ε <； 1），存在正数δ，使得当|x - x0| <； δ时，有f（x） >； 0。
2、如果lim x→x0 f（x） <； 0，那么对于任意小的正数ε（ε <； 1），存在正数δ，使得当|x - x0| <； δ时，有f（x） <； 0。
这个性质的证明可以通过选择适当的正数ε和δ来完成。这个性质在求解极限问题、研究函数的单调性等方面有着广泛的应用。
函数极限的应用：
1、求函数的极值
函数极值的求解是函数论中的一个重要问题。通过使用函数极限的保号性，我们可以找到函数的极值点，并计算出函数的极值。具体来说，如果函数f（x）在某一点x0处取得极值，那么在x0的任意邻域内，f（x）的值要么大于零，要么小于零。这个性质可以帮助我们快速找到函数的极值点，并计算出函数的极值。
2、求解函数的零点
函数的零点是指函数图像与x轴的交点。通过使用函数极限的保号性，我们可以判断函数在某一点附近是否存在零点。具体来说，如果函数f（x）在某一点x0处的极限值为零，那么在x0的任意邻域内，f（x）的值也接近于零。这个性质可以帮助我们快速判断函数是否存在零点，并找到函数的零点位置。
3、求解定积分
定积分是微积分学中的一个重要概念，它表示函数在一定区间上的总值。通过使用函数极限的保号性，我们可以将定积分转化为一系列小矩形面积之和的极限值。具体来说，如果函数f（x）在一定区a，b上可积，那么对于任意小的正数ε，总可以找到一系列小矩形，使得这些小矩形的面积之和与f（x）在a，b上的积分值的差的绝对值小于ε。这个性质可以帮助我们快速求解定积分。