施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。
正交向量组简介：
正交向量组是一组非零的两两正交(即内积为0)的向量构成的向量组。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。
在三维向量空间中， 两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。 换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。
对于给定的n个线性无关的向量v1, v2, ..., vn（n为向量个数），施密特正交化的步骤如下：
1. 计算第一个正交向量u1：
u1 = v1
2. 对于每个后续的向量vi（i = 2, 3, ..., n）：
a. 计算投影p：
p = (vi · u1) / (u1 · u1) * u1
b. 计算正交化后的向量ui：
ui = vi - p
3. 重复步骤2，直到获得n个互相正交的向量u1, u2, ..., un。
在施密特正交化的过程中，每个新的向量都与前面已经确定的正交向量集正交。这种正交化的结果是得到了一组互相正交的向量，可以用于诸如线性回归、主成分分析等许多数学和统计方法中。
需要注意的是，施密特正交化得到的向量组不一定是单位向量。如果需要单位向量，可以对每个正交向量进行标准化处理，即将每个向量除以其长度。
具体而言，给定一个线性无关的向量集合v1, v2, ..., vn，施密特正交化的过程如下：
1. 取v1作为新的正交基的第一个向量u1，即u1 = v1。
2. 对于第i个向量vi，依次进行下面的操作：
a. 计算投影向量pi = vi - proj[vi, u1] - proj[vi, u2] - ... - proj[vi, ui-1]，其中proj[a, b]表示向量a在向量b上的投影。
b. 如果pi为零向量，则vi可由u1, u2, ..., ui线性组合得到，因此vi可以忽略。
c. 否则，令ui = pi / ||pi||，即将pi单位化得到新的正交基的第i个向量。
3. 重复步骤2直到处理完所有的向量。
经过施密特正交化后，得到的向量集合u1, u2, ..., un就是原始向量集合v1, v2, ..., vn的正交基。
施密特正交化（Schmidt Orthogonalization）是一种线性代数中常用的方法，用于将一组线性无关的向量转换为一组正交（或标准正交）的向量。这个过程可以使得向量组更易于处理和分析，因为正交向量之间的内积为零，从而简化了向量的运算和表示。
设有一组线性无关的向量 {v1, v2, ..., vn}，我们想要将它们转换为一组正交向量 {u1, u2, ..., un}。施密特正交化的步骤如下：
首先，取第一个向量 v1，将其归一化（即将其除以其模长），得到第一个正交向量 u1。
u1 = v1 / ||v1||
接下来，对于第 i 个向量 vi（i > 1），用如下公式计算与前 i-1 个向量正交的向量 ui：
ui = vi - proj(vi, u1) - proj(vi, u2) - ... - proj(vi, ui-1)
其中，proj(v, u) 表示向量 v 在向量 u 上的投影。
将 ui 归一化，得到单位正交向量 ui。
ui = ui / ||ui||
重复上述步骤，直到得到所有的正交向量 {u1, u2, ..., un}。
施密特正交化保持了向量组的线性无关性质，并且通过该过程得到的向量组是正交的。这使得向量的内积计算更加简单，并且在很多数学和工程应用中都非常有用，例如线性代数、信号处理、机器学习等领域。
正交化公式推导（的由来）
前提：明白正交的含义，明白点积（内积）的含义。