高中数学难题。。。。题目是。设a为实数，f(x)=2x^2+(x-a)|x-a|。。。题目在另一边

Question

高中数学难题。。。。题目是。设a为实数，f(x)=2x^2+(x-a)|x-a|。。。题目在另一边拍不了。。。。我想问第三问的，讨论得的√2÷2为什么作为分界线。。这个值怎么来的。。谢谢

Answer 1

(3) ∵x∈(a,+∞)
∴h(x)=f(x)
=2x^2+(x-a)(x-a)
=3x^2-2ax+a^2
h(x)>=1
3x^2-2ax+a^2>=1
3x^2-2ax+a^2-1>=0
Δ=4a^2-4*3(a^2-1)
=12-8a^2
=4(3-2a^2)
1）Δ<=0
4(3-2a^2)<=0

2a^2-3>=0
a<=-√6/2或者a>=√6/2
3x^2-2ax+a^2-1>=0的解集为R，但∵x∈(a,+∞)
∴解集为：x∈(a,+∞)
2）Δ>0
4(3-2a^2)>0
2a^2-3<0
-√6/2<a<√6/2
√Δ=2√(3-2a^2)
x1=(2a-2√(3-2a^2))/6
=(a-√(3-2a^2))/3
x2=(2a+2√(3-2a^2))/6
=(a+√(3-2a^2))/3
不等式的解集为：x<=(a-√(3-2a^2))/3或者x>=(a+√(3-2a^2))/3
但∵x∈(a,+∞)
∴必须先讨论a与x1及x2的大小关系：当a<x1时，解集为(a,x1]U[x2,+∞)；当x1=<a<=x2时，解集为：[x2,+∞)；当a>x2时，解集为(a,+∞)。
若a<x1
a<(a-√(3-2a^2))/3
3a<a-√(3-2a^2)
√(3-2a^2)<-2a
3-2a^2<4a^2
6a^2>3
a^2>1/2
a<-√2/2或者a>√2/2
即当-√6/2<a<-√2/2或者√2/2<a<√6/2时，不等式的解集：(a,(a-√(3-2a^2))/3]U[(a+√(3+2a^2))/3,+∞)
若x1=<a<=x2
-√2/2<=a<=√2/2
解集：[(a+√(3+2a^2))/3,+∞)
若a>x2
a>(a+√(3+2a^2))/3
3a>a+√(3+2a^2)
2a>√(3+2a^2)
4a^2>3+2a^2
2a^2>3
a^2>3/2
a<-√6/2或者a>√6/2与前面Δ>0得到的√6/2<a<√6/2矛盾，因此，不会出现a>x2的情况。
综述，不等式的解集为：x∈(a,+∞)或者(a,(a-√(3-2a^2))/3]U[(a+√(3+2a^2))/3,+∞)或者[(a+√(3+2a^2))/3,+∞)

Answer 2

骚年，好好学习追问

不懂不要回答。