对数的概念 英语名词：logarithms
如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“
底数”，b叫做“
真数”，n叫做“以a为底b的对数”。
log(a)(b)函数叫做
对数函数。对数函数中b的
定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。
[编辑本段]对数的性质及推导定义： 若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质： 1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(a^b)=b
3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a^n)M=log(a)(M)/n
推导 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
3、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)]
=
a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]
=(M)*(N)
由指数的性质
a^[log(a)(MN)]
=
a^{[log(a)(M)]
+
[log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
又因为
指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN)
=
log(a)(M)
+
log(a)(N)
4、与（3）类似处理
MN=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)]
=
a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)]
=
a^{[log(a)(M)]
-
[log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M÷N)
=
log(a)(M)
-
log(a)(N)
5、与（3）类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)]
=
{a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)]
=
a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下：
由
换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作
自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导：
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m)
=
[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]
=
(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
--------------------------------------------（性质及推导
完）
[编辑本段]
函数图象 1.对数函数的图象都过(1,0)点.
2.对于y=log(a)(n)函数,
①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a
的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.
②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.
3.与其他函数与
反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.
[编辑本段]其他性质
性质一：换底公式
log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
推导如下：
N
=
a^[log(a)(N)]
a
=
b^[log(b)(a)]
综合两式可得
N
=
{b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]
=
b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因为N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)]
=
b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N)
=
[log(a)(N)]*[log(b)(a)]
{这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N)
/
log(b)(a)
公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a) 证明如下：
由换底公式
log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)
----取以b为底的对数
log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
还可变形得:
log(a)(b)×log(b)(a)=1
在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,
lg100=lg10^2=2,
lg4000=lg（10^3×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出
对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以
无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号
loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数
表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同
精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。