一道证明,证明有且仅有一个根

如题所述

题目是三角函数与一般函数结合的题型,证明方程有根的情况,我们可以转转化为函数与x轴交点问题,直接证明难度大,可以先讨论函数单调性,属于中等稍难题目。
证明:设f(x)=x+a+bcosx=0
那么f(x)′=1-bsinx,因为sinx∈(-1,1),而0<b<1,所以bsinx<1,则1-bsinx>0
即f(x)在x∈(-π/2,π/2)上是单调递增的。
如果f(x)=0存在唯一实数根,因为函数是单调的,所以只需证明f(x)上存在两点f(x1).f(x2)<0
又因为f(-π/2).f(π/2)=(-π/2+a)(π/2+a)=a²-(π/2)²,而a∈(0,π/2)
所以a²-(π/2)²<0,即f(-π/2).f(π/2)<0
则f(x)=0在区间内存在唯一实数根。
证毕!
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