高中数学

Question

1.已知g（x）=-x2-3,f(x)是二次函数，g(x)+f(x)是奇函数，且当x属于〔1，2〕时，f(x)的最小值是1，求f(x)的表达式
2.已知f（x）定义在R上的函数，对于任意的实数a,b都有f(ab)=af(b)+bf(a),且f(2)=1 问1.求f（1/2）得值 2.求f(2(-n次方))的解析式（n属于N（*次方）） 要过程 谢谢 我在线等答案

Answer 1

1
设f(x)=ax^2+bx+c
由于f(x)+g(x)为奇函数
所以f(0)+g(0)=-{f(0)+g(0)}
所以f(0)+g(0)=0
化得：a*0^2+b*0+c-0^2-3=0
所以：c=3
有f(x)+g(x)为奇函数又可以推出：
对于任何的实数都有
f(x)+g(x)=-{f(-x)+g(-x)}
化得：-x^2-3+ax^2+bx+3=-{-x^2-3+ax^2-bx+3}
-x^2-3+ax^2+bx=x^2-3-ax^2+bx
所以（2-2*a）x^2=0
由于对任意的x属于R都成立
所以（2-2*a）=0
得：a=1
所以f(x)=x^2+bx+3
由于f(x)在[-1,2]存在最小值为1
二次函数的特征可以知道
要使得取得最小值
只有可能在对称轴上，或想x=-1或则x=2
假设在对称轴上
则有f（-b/(2a)）=f（-b/2）=(b^2/4)-(b^2/2)+3=1
得：b^2=8
b=+2*根号2，-2*根号2
-b/2*a=根号2或者-根号2
由于(-根号2)不在xx属于[-1,2]下
所以不可能取得即b=+2*根号2不满足
假设是在x=-1取得
代入f（-1）=1-b+3=1
所以b=3
则对称轴位置为—（b/2a）=-3/2
此时x属于[-1,2]都在对称轴的右边
所以x属于[-1,2]在x=-1处取的最小值满足
所以b=3可行
假设在x=2处取的最小值
则f（2）=4+2b+3=1
所以b=-3
此时对称轴-（b/2a）=3/2
此时对称轴在x属于[-1,2]之内
所以最小值应该在对称轴位置取得
与假设矛盾舍去
综上所述
f（x）=-x^2-2根号2x+3
或者f（x）=-x^2+3x+3

Answer 2

1、解：由题意可知设f（x）=x^2+bx+3=(x+b/2)^2+3-b^2/4
当-b/2<1,即b>-2时，f（1）=1+b+3=1，b=-3(舍去）
当-b/2>2,即b<-4时，f（2）=4+b+3=1，b=-3(舍去）
当1≤-b/2≤2,即-4≤b≤-2时，3-b^2/4=1，b=-2√2或b=2√2(舍去）
f（x）=x^2-2√2 x+3

2、f（1*1）=f（1）+f（1），即f（1）=0
f(1)=f(2*1/2)=2f(1/2)+1/2f(2),即
0=2f（1/2)+1/2
f(1/2)=-1/4
f(2^-n)=f[2*2^-(n+1)]=2f[(2^-(n+1)]+[2^-(n+1)]f(2)
令An=f(2^-n)，A1=f(1/2)=-1/4,即
An=2A(n+1)+1/2^(n+1)
A1=-1/4
A2=-1/4=-2/8
A3=-3/16
A4=-4/32=-1/8
A5=-5/64
......
An=-n/2^(n+1)

Answer 3

1.因为g(x)+f(x)所以f(x)可以设为f(x)=x^2+kx+3,
由其他条件可求得k=-2倍根号2,f(x)=x^2-2倍根号2x+3
2.(1)令a=b=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,再另a=2,b=1/2,得2f(1/2)+1/2f(2)=0,得f(1/2）=-1/4;
(2).楼上 正解！！

Answer 4

一、f(x)=-x^2+x+3，
1、设f(x)=ax^2+bx+c,则g(x)+f(x)=-[g(-x)+f(-x)],可得到a=-1，c=3，
2、再将1和2分别代入f(x)=1，求得b=1或者-1，
3、再分别求此时的f(2)的值，可以排除b=-1（因为此时f(1)不是最小的）。
二、将a=1，b=1代入f(ab)=af(b)+bf(a),得到f(1)=f(1)+f(1),得到f(1)=0
1、将a=2，b=1/2代入得f(2*1/2)=2f(1/2)+1/2f(2),解得f（1/2）=-1/4
2、将a=2，b=2^(-n)代入得f[2^(-n+1)]=f[2*2^(-n)]=2f[2^(-n)]+2^(-n)*f(2)解得f[2^(-n)]=f[2^(-n+1)]*1/2-2^(-n+1),这样得到递推公式，就可以推出f[2^(-n)]，具体的我就不写了，太不好写了。