定积分证明题……求大神解题……

Question

如题所述

Answer 1

下面 ∫ 均是a到b积分
记h(b)=[∫f(x)dx][∫g(x)dx]-(b-a)∫f(x)g(x)dx
则h'(b)=f(b)∫g(x)dx+g(b)∫f(x)dx-∫f(x)g(x)dx-(b-a)f(b)g(b)
=∫[f(b)g(x)-f(x)g(x)+g(b)f(x)-f(b)g(b)]dx
=∫[g(x)(f(b)-f(x))+g(b)(f(x)-f(b))]dx
=∫[g(x)-g(b)][f(b)-f(x)]dx
∵f,g在[a,b]单增，∴[g(x)-g(b)][f(b)-f(x)]≤0，x∈[a,b]
∴h'(b)=∫[g(x)-g(b)][f(b)-f(x)]dx≤0
即h(b)是个关于自变量b的单减函数，∴h(b)≤h(a)=0
即[∫f(x)dx][∫g(x)dx]≤(b-a)∫f(x)g(x)dx追问

真棒谢谢！

追答

不客气