一、f(xy)=f(x)+f(y)
1、定义域与值域
定义域:x∈R, y∈R 值域:f(xy)∈R
2、对称性
f(xy)关于关于y轴对称
3、周期性
f(xy)无周期
4、奇偶性
f(1)=f(1)+ f(-1)+f(-1)=0,f(1)=f(-1)=0
f(x)-f(-x)=f(x)-f(-1)-f(x)=0,f(x)= f(-x)
f(x)是偶函数
5、最值
当f(x)≥0时,有fmin(x)=f(1)=f(-1)=0
当f(x)≤0时,有fmax(x)=f(1)=f(-1)=0
6、反函数
f(x)无反函数
二、f(x)=∣x+a∣
1、定义域与值域
定义域:x∈R,值域:f(x)≥0
2、对称性
以x=-a对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f(x)+f(-x)= ∣x+a∣+∣-x+a∣≠0
f(x)-f(-x)= ∣x+a∣-∣-x+a∣≠0
f(x)非奇非偶
5、单调性
x1<x2, x2-x1
f(x2)-f(x1)= ∣x1+a∣-∣x2+a∣
当x2≤-a时, f(x2)-f(x1)= -a-x1+x2+a= x2-x1>0,f(x)单调递增
当x1<-a<x2时, f(x2)-f(x1)= -a-x1-a-x2=-( x1+a)-(x2+a)
当x1≤-x2时, -( x1+a) ≤x2+a, f(x2)-f(x1) <0 ,f(x)单调递减
当x1≥-x2时, -( x1+a) ≥x2+a, f(x2)-f(x1) >0 ,f(x)单调递增
当-a≤x1时, f(x2)-f(x1)= x1+a-a-x2= x1- x2>0 ,f(x)单调递增
6、最值
当x=-a时,有fmin(x)=0
7、反函数
f(x)无反函数
三、f(x)= ∣x+a∣+∣x+b∣
1、定义域与值域
定义域:x∈R,值域:f(x)≥0
2、对称性
以x=-a,x=-b对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f(x)+f(-x)= ∣x+a∣+∣x+b∣+∣-x+a∣+∣-x+b∣≠0
f(x)-f(-x)= ∣x+a∣+∣x+b∣-∣-x+a∣-∣-x+b∣≠0
f(x)非奇非偶
5、最值
当a=b时, fmin(x)=f(-a)=f(-b)=0
当a≠b时, f(-a)= ∣-a+b∣
f(-b)= ∣-b+a∣
当∣-a+b∣>∣-b+a∣时, fmin(x)= ∣-b+a∣
当∣-b+a∣>∣-a+b∣时, fmin(x)= ∣-a+b∣
6、反函数
f(x)无反函数
四、f(xy)=f(x)*f(y)
1、定义域与值域
定义域:x∈R,y∈R值域:f(xy)∈R
2、对称性
f(xy)不对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f(x)=f(x)*f(1),f(1)=1
f(x)=f(x)*f(0),f(0)=0
f(1)=f(-1)*f(-1)=1,f(-1)=-1
f(x)+f(-x)= f(x)*f(1)+f(x)* f(-1)
= f(x)- f(x)=0
f(x)是奇函数
5、最值
f(x)无最值
五、f(x+y)=f(x)+f(y)
1、定义域与值域
定义域:x∈R, y∈R 值域:f(xy)∈R
2、对称性
f(x)关于原点对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f(0)=f(0)+ f(0),f(0)=0
f(0)= f(1)+ f(-1)=0, f(1)=- f(-1)
f(x)+f(-x)=x*f(1)+x*f(-1)
= x*f(1)- x*f(1)=0
-f(x)= f(-x),f(x)是奇函数
6、最值
f(x)无最值
六、f(x+y)=f(x)*f(y)
1、定义域与值域
定义域:x∈R, y∈R 值域:f(xy)∈R
2、对称性
f(x)不对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f(0)=f(0)* f(0)= f(1) *f(-1)=1
f(1)=
f(x)+f(-x)=f(1)* f(x)+f(-1)* f(x)≠0
f(x)-f(-x)=f(1)* f(x)-f(-1)* f(x)≠0
f(x)非奇非偶
5、最值
f(x)无最值
七、f(x-y)=f(x)-f(y)
1、定义域与值域
定义域:x∈R, y∈R 值域:f(xy)∈R
2、对称性
f(x)关于原点对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f(x)+f(-x)=f(x)-f(0)+ f(0)- f(x)=0
-f(x)= f(-x),f(x)是奇函数
5、单调性
6、最值
八、f( )=f(x)-f(y)
1、定义域与值域
定义域:x∈R, y∈R 值域:f(xy)∈R
2、对称性
f(x)关于原点对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f(1)= f(1)- f(1)=-f(-1)=0
f(-1)= f(1)-f(-1)=-f(-1),f(-1)=0
f(x)-f(-x)=f(x)-f(1)-f(x)+f(-1)=0
-f(x)= f(-x),f(x)是奇函数
5、最值
f(x)无最值
九、f(x)=x+ (a∈R+)
1、定义域与值域
定义域:x≠0 值域: f(x)∈ U
2、对称性
f(x)关于原点对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f(x)+ f(-x)= x+ -x+ =0
-f(x)= f(-x),f(x)是奇函数
5、单调性
x1<x2
f(x2)-f(x1)= x2+ -x1-
= x2-x1+
=(x2-x1)(1- )
当x∈ 时,f(x2)-f(x1)>0,f(x)单调递增
当x∈ 时,f(x2)-f(x1)>0,f(x)单调递增
当x∈ 时,f(x2)-f(x1)>0,f(x)单调递减
当x∈ 时,f(x2)-f(x1)>0,f(x)单调递减
6、最值
f(x)无最值
7、反函数
y= f(x)= x+
x2-yx+a=0
x=
f-1(x)= ,x∈
f-1(x)= ,x∈
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