工程数学（线代+概率）有3个问题请教 说思路或详细过程都可......谢谢

Question

1.已知a1,a2,a3是四元方程组AX=b的三个解，其中秩A=3且a1+a2=列向量(1,2,3,4)，a2+a3=列向量(4,4,4,4)，求方程组AX=b的通解。2.设A为m*n矩阵，且秩A=n，求证A*A的转置是正定阵。3.某工厂生产电阻，在正常生产情况下，废品概率是0.01，令取500个装成一盒，问废品不超过5个的概率是多少？（用正态分布函数值表示 不必计算出具体数）

悬赏30分 做对追分！！！谢谢

Answer 1

(1)由于r(A)=3，因此其次线性方程组Ax=0的基础解析中只有一个解向量，将已知条件的两个等式相减就可以得到a3-a1=(3,2,1,0)T,这就是Ax=0的解，另外由于a1和a2都是方程组的解，因此满足Aa2=Aa3=b这样A(a2+a3)=Aa2+Aa3=2b,因此还可以得到A(a2+a3)/2=b，因此(a2+a3)/2=(2,2,2,2)T就是Ax=b的特解，根据非齐次线性方程组解的结构就可以得到通解为：x=k(3,2,1,0)T+(2,2,2,2)（2）设X为任意的非零m维列向量，因为A是m*n矩阵，因此A的转置AT是n*m维矩阵，因为A的r(A)=n，因此r(AT)=n，这样线性方程组ATx=0只有零解，也就是说，对于X≠0，ATX≠0，这样f(x)=XT(AAT)X=(ATX)T*(ATX)>0，因此AAT是正定矩阵。（3）设X表示废品个数，X~B(500,0.01)，因此数学期望μ=np=5，方差为σ=npq=4.95根据独立同分布中心极限定理可以得到Y=(X-nμ)/(σ√n)~N(0,1)，P{X≤5}=P{(0-nμ)/(σ√n)≤Y≤(5-nμ)/(σ√n}=Φ((nμ-5)/(σ√n))-Φ((nμ)/(σ√n))，把数带进去计算就可以了