x^3(y^2-z^2)+y^3(z^2-x^2)+z^3(x^2-y^2)

Question

因式分解，会做的写一下过程和答案，谢谢了

Answer 1

这里的x，y，z按顺序调换后和原式一样，比如把x都变成y，y都变成z，z都变成x，这样的式子我们称为轮换式。你会发现，当x=y和x=z时都有原式等于 0，所以根据因式定理，原式必定含有因式（x-y）和（x-z），自然也有（y-z）这个因式，这3个因式已经能够提供x,y,z的平方项，而原式中还有立方，所以还差一个因式，由轮换对称性知应该是（x+y+z)我们用待定系数法，设:
x^3(y^2-z^2)+y^3(z^2-x^2)+z^3(x^2-y^2)=k(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)
然后就是带特殊值得k了.

Answer 2

你会发现，这里的x，y，z按顺序调换后和原式一样，比如把x都变成y，y都变成z，z都变成x，这样的式子我们称为轮换式。

你会发现，当x=y和x=z时都有原式等于 0，所以根据因式定理，原式必定含有因式（x-y）和（x-z），自然也有（y-z）这个因式，这3个因式已经能够提供x,y,z的平方项，而原式中还有立方，所以还差一个因式，由轮换对称性知应该是（x+y+z)

我们用待定系数法，设:
x^3(y^2-z^2)+y^3(z^2-x^2)+z^3(x^2-y^2)=k(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)
...然后就是带特殊值得k了.

可以代入x=1,y=2,z=3解得k=-1

明白吗？有问题再问吧。。。

Answer 3

因为当x=y时，原式等于0，所以原式有x-y这个因式，同理还有y-z和z-x.而这三个因式相乘含有想(x^2)y,所以如果原式剩下两个因式，则原式会含有其他项。所以原式剩一个因式，经过分析x的次数，所以这个因式中含有xy,又因为x,y,z对称，所以最后一个因式是xy+yz+zx,
所以原式等于(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx).

Answer 4

我用计算机编程实现
答案绝对正确
过程你自己想想吧！

syms x y
>> factor(x^3*(y^2-z^2)+y^3*(z^2-x^2)+z^3*(x^2-y^2))

ans =

(y-z)*(x-z)*(x-y)*(x*z+x*y+y*z)