由题意知y''=1+(y')^2。
令y'=p,则y''=p'=dp/dx，于是原方程可以写成：p'=1+p^2,所以dp/(1+p^2)=dx。
对等式两端同时积分得到：arctanp=x+c1（c1为常数），即p=tan(x+c1),y'=tan(x+c1),所以dy=tan(x+c1)dx,再对等式两端同时积分得到微分方程的通解为：y=-ln|cos(x+c1)|+c2（c1、c2均为常数）
一阶导数表示的是函数的变化率，最直观的表现就在于函数的单调性定理：
设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶导数，那么：
（1）若在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递增；
（2）若在(a,b)内f’(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递减；
（3）若在(a,b)内f'(x)=0,则f(x)在[a,b]上的图形是平行（或重合）于x轴的直线，即在[a,b]上为常数。
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在实数域上都有定义，要使函数f在一点可导，那么函数一定要在这一点处连续。换言之，函数若在某点可导，则必然在该点处连续。
由题意知y''=1+(y')^2
令y'=p，则y''=p'=dp/dx
于是原方程可以写成：p'=1+p^2
所以dp/(1+p^2)=dx
对等式两端同时积分得到：arctan p=x+c1（c1为常数）
即p=tan(x+c1)，y'=tan(x+c1)，
所以dy=tan(x+c1) dx，
再对等式两端同时积分得到微分方程的通解为：
y= -ln |cos(x+c1)|+c2 （c1、c2均为常数）
扩展资料
通解的求法：
求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。
非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）。
令y'=p, 即dy/dx=p
则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
带入：
pdp/dy=p^2+1
移项后两边积分
p/(p^2+1)dp=dy
1/2ln(p^2+1)=y+c
则：p^2+1=e^(2y+2c)
则p=√(e^(2y+2c)-1)
即：dy/dx=√(e^(2y+2c)-1)
移项后两边积分，
dy/√(e^(2y+2c)-1)=dx
令 √(e^(2y+2c)-1)=t ，则y=1/2ln[(t^2+1)/e^(2c)]
dy=1/2e^(2c)/(t^2+1)*2tdt=e^(2c)t/(t^2+1)dt
带入：
∫e^(2c)t/(t^2+1)*1/tdt=x
=∫e^(2c)/(t^2+1)dt=x
e^(2c)arctant+c2=x
再带回t得：
x=e^(2c)arctan√(e^(2y+2c)-1)+c2
令e^(2c)=c1，则为
x=c1*arctan√(c1*e^(2y)-1)+c2本回答被网友采纳
因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考（若图像显示过小，点击图片可放大）
