泰勒公式在x=a处展开为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……
设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②
令x=a,得a1=f'(a)
对②两边求导，得f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……
令x=a,得a2=f''(a)/2!
继续下去可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②
令x=a,得a1=f'(a)
对②两边求导，得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……
令x=a,得a2=f''(a)/2!
继续下去可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……
应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算极限值，等等。
函数f(x)在点x0某邻域内具有直到n+1阶导数，我们希望找到一个n次多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n，使这个多项式与f(x)在x0处具有相同的函数值及相同的直到n阶的导数值，容易确定这个多项式就是
Pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)
2!](x-x0)^2+…+
+[f
n
(x0)
n!](x-x0)^n
这个多项式就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式.
确定Pn(x)一点也不困难，困难的是证明泰勒公式的余项
Rn(x)=f(x)-Pn(x)=[f
n+1
(ξ)
(n+1)!](x-x0)^(n+1)（ξ在x与x0之间），这需要用n+1次柯西中值定理，
1. 常见泰勒展开
一定要注意泰勒展开的条件；
n阶可微函数 f(x)f(x) 在 x=ax=a 处的展开为：
f(x)=f(a)0!+f′(a)1!(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+⋯f(x)=f(a)0!+f′(a)1!(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+⋯
一般常取的在 x=0x=0 处的展开（也称作麦克劳林的展开）
将一个函数展开，当然最终仍是函数的形式。
f(x)f(x) nn 阶可微，则其 kk 阶导的展开形式为：fk(a)k!(x−a)kfk(a)k!(x−a)k，系数部分（fk(a)k!fk(a)k!）是确定的数值，(x−a)k(x−a)k 是含有 xx 的项。
注意泰勒展开的条件。比如 (1+z)α(1+z)α 进行泰勒展开，要求|z|<1|z|<1。
(1+z)α=1+αz+α(α−1)2!z2+α(α−1)(α−2)3!z3+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!zn+⋯,|z|<1(1+z)α=1+αz+α(α−1)2!z2+α(α−1)(α−2)3!z3+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!zn+⋯,|z|<1
⇒
1(1+z)2=(1+z)−2=1−2z+3z2−4z3+⋯1(1+z)2=(1+z)−2=1−2z+3z2−4z3+⋯
⇒
1(1+1)2=1−2+3−4+5−6+⋯1(1+1)2=1−2+3−4+5−6+⋯
11−x=(1−x)−1=∑n=0∞xn for |x|<111−x=(1−x)−1=∑n=0∞xn for |x|<1
2. 泰勒展开的应用
2.1 做近似计算
估计立方根：
6513=(1+64)136513=(1+64)13
注意泰勒展开 (1+z)α(1+z)α 的条件要求 |z|<1|z|<1，所以此时，
6513=(1+64)13=4(1+164)13≈4(1+13⋅164)=4.0208...