已知函数f(x)= x^3-ax^2+27x (a为常数 极值和取值范围问题。

Question

已知函数f(x)= x^3-ax^2+27x (a为常数)（1）当a=15时，求f(x)的极值；（2）若函数f(x)在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围。

Answer 1

（1）当a=15时，f（x）′=3x²-30x+27=3（x-3）（x-9）
当x属于（-∞，3）时，f（x）′＞0，函数递增
当x属于（3，9）时，f（x）′＜0，函数递减
当x属于（9，∞）时，f（x）′＞0，函数递增
所以当x=3时，f（x）取得极大值3³-15×3²+27×3=-27
当x=9时，f（x）取得极小值9³-15×9²+27×9=-243
(2)即要求 f（x）′=3x²-2ax+27≥0在（0，∞）上恒成立
即2a≤3x+ 27/x在（0，+∞)上恒成立 （因为x大于0，所以可以两边同时除以x不换号）
3x+ 27/x≥2√（3x*27/x）=18
即3x+ 27/x最小值为18
只需2a≤18即可
a≤9