æå¥åè¨ï¼åªæä¸ ä¸å¯¹åºçå½æ°ææåå½æ°ãæ£å¼¦å½æ°y=sinxçå®ä¹å为Rï¼å¨å
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è§å®ï¼å®ä¹åxâ[-Ï/2ï¼Ï/2]ï¼å¼åyâ[-1ï¼1]ï¼å¨æ¤è§å®ä¸æ x=arcsinyï¼äº¤æ¢xï¼yå¾åå½æ°
y=arcsinx, xâ[-1ï¼1]ï¼yâ[-Ï/2ï¼Ï/2]ï¼è¿æ¯é¢å¤è¯ãä¸é¢åçä½ çé®é¢ï¼
ç±y=sinxï¼ä¸äº¤æ¢xï¼yï¼å¾x=arcsinyï¼å°y=sinxä»£å ¥ï¼å³å¾arcsin(sinx)=xï¼æ¤å¼æç«çæ¡ä»¶
æ¯ï¼xâ[-Ï/2ï¼Ï/2]ï¼[注æï¼åé¢ææå°åçxâ[0ï¼Ï/2]ï¼å³xæ¯ä¸ä¸ªæ£çéè§].
å¦ææ³å¨x∉[-Ï/2ï¼Ï/2]æ¶ä½¿ç¨ä¸å¼ï¼å°±è¦ä½äºåå¨ï¼ã注æxå°å(x)å大å(X)çåºå«ã
å½Xâ[Ï/2ï¼Ï]æ¶ï¼arcsin(sinX)=arcsin[sin(Ï-x)]=Ï-arcsin(sinx)]=Ï-xï¼
å½Xâ[Ïï¼3Ï/2]æ¶, arcsin(sinX)=arcsin[sin(Ï+x)]=Ï+arcsin(sinx)=Ï+x;
å½Xâ[3Ï/2ï¼2Ï]æ¶ï¼arcsin(sinX)=arcsin[sin(2Ï-x)]=2Ï-arcsin(sinx)=2Ï-xï¼
å½Xâ[2Ïï¼5Ï/2]æ¶ï¼arcsin(sinX)=arcsin[sin(2Ï+x)]=2Ï+arcsin(sinx)=2Ï+xï¼
ãããããããããããããããã
ä¸é¢æç¨ä¸ªå¾å 以说æï¼ä»å¾çå¾æ´æ¸ æ¥ï¼
ä½ å¥½ æä¸æçå°±æ¯ä½ å¾çä¸ç æç¥éå½ Ï/2â¦xâ¦3Ï/2æ¶ï¼arcsin(sinx)=Ï-x ä½æ¯è¿æ¯ä¸æå è½å详ç»è®²è§£ä¸ä¸å
追ç已修æ¹æ£æï¼ä¿®æ¹åçæ£æåçäºä½ ç追é®ã
解答如下:
你好 我知道在这个积分限内 x=pai-arcsiny 但是题目那一步是怎么变的
追答就是直接用π-x代替了arcsin(sinx)
积分限没变化,arcsin(sinx)与π-x相等,用后者代替了前者啊
追问我就是不明白为什么arcsin(sinx)与π-x相等 没别过来这个弯 是将x=pai-arcsiny 代入吗
但我听老师的意思是好像是将arcsiny带入
用初等数学的方法怕是很难证明这个恒等式
仔细看了一下,可以这样来证明这个恒等式:
∵x∈[3π/4, π]时,(π-x)∈[0, π/4]含于反正弦函数的值域内,
∴由sin(π-x)=sinx有
π-x=arcsin(sinx).
你好 我不明白的地方是 我知道在这个积分限内 x=pai-arcsiny 但是题目那一步怎么变得
你好 我想要的解释不是换元到主值区间的 我就想要π/2≦x≦3π/2时,arcsin(sinx)=π-x 这样怎么出来的
追答因不在主值区间 arcsin(sinx) 不等于 x。
熟炼的人直接就可写出,在 π/2 ≦ x ≦ 3π/2 内,arcsin(sinx) = π-x
本解法就是详细证明,在 π/2 ≦ x ≦ 3π/2 内,arcsin(sinx) = π-x
变量变换到主值区间只是证明过程采用的手段,并不是目的。