初二冀教版数学13单元---不等式

Question

初二冀教版数学13单元______不等式

如果是其他版的也行，我只要不等式的概念（初二）

Answer 1

●【均值不等式的简介】———————————————————————————————

概念：N个正实数的算术平均数大于等于其几何平均数

算术平均数，arithmetic mean，用一组数的个数作除数去除这一组数的和所得出的平均值，也作average
几何平均数，geometric mean，作为n个因数乘积的数的n次方根，通常是n的正数根

设a1,a2,a3,...,an是n个正实数，则(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an)，当且仅当a1=a2=…=an时，均值不等式左右两边取等号

●【均值不等式的变形】———————————————————————————————

(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab

(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0

(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)

(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)

(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0

(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab

(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2

(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac

(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2

●【均值不等式的证明】———————————————————————————————

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

下面介绍个好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]

设f(x)=lnx，则f'(x)=1/x>0，f"(x)=-1/x^2<0，所以，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)
即x1+x2+...+xn≥n次√(x1*x2*...*xn)

●【均值不等式的应用】———————————————————————————————

例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)

证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3
所以，2√x≥3-1/x

例二 长方形的面积为p，求周长的最小值

解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p
因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p
周长最小值为4√p

例三 长方形的周长为p，求面积的最大值

解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16
面积最大值是p^2/16

●【均值不等式的总结】———————————————————————————————

1、调合平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

在三角形中，必然有两边之和大于第三边，即为三角不等式。
三角不等式虽然简单，但却是平面几何不等式里最为基础的结论，包括广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会用这一不等式导出不等关系。
三角不等式还有以下推论：两条相交线段AB、CD，必有AC+BD小于AB+CD。

|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b| (定理)，也称为三角不等式 。

含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0(a不等于0),其中ax^2+bx+c实数域上的二次三项式。
一元二次不等式的解法 1）当V("V"表示判别是，下同）=b^2-4ac>=0时，二次三项式，ax^2+bx+c有两个实根，那么ax^2+bx+c总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集。

还是举个例子吧。
2x^2-7x+6<0
利用十字相乘法
2x －3
1x －2
得（2x-3)(x-2)<0
然后，分两种情况讨论：
一、2x-3<0，x-2>0
得x<1.5且x>2。不成立
二、2x-3>0，x-2<0
得x>1.5且x<2。
得最后不等式的解集为：1.5<x<2。

另外，你也可以用配方法解二次不等式：
2x^2-7x+6
=2(x^2-3.5x)+6
=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6
=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6
=2(x-1.75)^2-0.125<0
2(x-1.75)^2<0.125
(x-1.75)^2<0.0625
两边开平方，得
x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25
x<2且x>1.5
得不等式的解集为1.5<x<2

一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解 通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题目所需求的”＜0”或”＞0”而推出答案．

求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式左边并进行因式分解分类讨论求出解集。解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图像法进行解题，使得问题简化。

常用的不等式的基本性质：a>b,b>c => a>c;
a>b => a+c>b+c;
a>b,c>0 => ac>bc;
a>b,c<0 =>ac<bc
；a>b>0,c>d>0 => ac>bd;
a>b,ab>0 => 1/a<1/b
;a>b>0 => a的n次方>b的n次方;

基本不等式：(根号ab)≤（a+b）/2
那麽可以变为 a平方-2ab+b平方 ≥ 0
a平方+b平方 ≥ 2ab

有两条哦！
一个是| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|
另一个是| |a|-|b| |≤|a+b|≤a|+|b|
证明可利用向量，把a、b 看作向量，利用三角形两边之差小于第三边，
两边之和大于第三边。

柯西不等式：
设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数，则有（a1b1+a2b2+…+anbn）^2≤（a1^2+a2^2+…an^2）（b1^2+b2^2+…bn^2）等号当且仅当ai=λbi(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取到。

不等式的性质：
1.不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4.不等式的两边都乘以0,不等号变等号。

Answer 2

一般的，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 不等式中可以含有未知数，也可以不含）
用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式。
不等式的性质：
1.不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4.不等式的两边都乘以0,不等号变等号。
解一元一次不等式的一般方法顺序：
1、去分母 （运用不等式性质2，3）。
2、去括号 。
3、移项 （运用不等式性质1）。
4、合并同类项。
5、将未知数的系数化为1 （运用不等式性质2，3）。本回答被提问者采纳

Answer 3

以一个不等号连接式子两边的等式叫不等式