求一个定积分

Question

如题所述

Answer 1

这道题很简单，做法如下：
1.
方法一：用二重积分
设A=∫e^(-x^2)dx
故A=∫e^(-y^2)dy
A^2=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy
=∫∫e^(-x^2)*e^(-y^2)dxdy
(这一步很难理解，你可以这样想，y是一个和x一个无关的变量，这题里积分变量是主要的x，所以就可以乘进去了
=∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy
设x=rcosθ,y=rsinθ
A^2=lim(t趋向正无穷）∫(0到π/2）dθ∫（0到t）e^(-r^2)rdr
∫（0到t）e^(-r^2)rdr=-e^(-t^2)+1
因为t趋向正无穷,lim[e^(-t^2)]=0
A^2=π/2*(1/2)=π/4
解得
A=π^(1/2)/2
2.方法二：用标准正态分布做
已知[1/（2π）^(1/2)]*∫e^[-（t^2)/2]dt=1
下限负无穷，上限正无穷
设t=2^(1/2)*x
可化为[1/π^(1/2)]*∫e^[-(x^2)]dx=1
有因为标准正态曲线关于y轴对称
故[1/π^(1/2)]*∫e^[-(x^2)]dx=1/2
下限0，上限正无穷
解得∫e^[-(x^2)]dx=π^(1/2)/2
好了，解法就是这么详细，还有不懂的，可以问我。。。