要求解不等式 \( (k-2)t^2 - 2t + k-2 < 0 \) 对于任意 \( t \in [1/2, 2] \) 都成立的 \( k \) 的取值范围，可以使用代入法和不等式的性质来解决问题。
首先，考虑 \( t \) 在区间 \([1/2, 2]\) 内的取值范围。在这个区间内， \( t \) 可以取得最小值 \( 1/2 \) 和最大值 \( 2 \)。
1. 当 \( t = 1/2 \) 时，不等式变为 \( (k-2)(1/4) - 1 + k - 2 < 0 \)。
2. 当 \( t = 2 \) 时，不等式变为 \( (k-2)(4) - 4 + k - 2 < 0 \)。
现在我们分别解这两个不等式：
1. 对于 \( (k-2)(1/4) - 1 + k - 2 < 0 \)，将 \( k \) 的项移到一边得到 \( (k-2)(1/4 + 1) < 1 - k + 2 \)，继续化简得 \( k - 2 < 3 - 4k \)。
2. 对于 \( (k-2)(4) - 4 + k - 2 < 0 \)，将 \( k \) 的项移到一边得到 \( (k-2)(4 - 1) < 4 - k + 2 \)，继续化简得 \( 3k - 2 < 6 - k \)。
现在，我们需要考虑 \( k \) 的取值范围，使得上述两个不等式都成立。
对于不等式 \( k - 2 < 3 - 4k \)，我们可以整理得到 \( 5k < 5 \)，进一步化简为 \( k < 1 \)。
对于不等式 \( 3k - 2 < 6 - k \)，我们可以整理得到 \( 4k < 8 \)，进一步化简为 \( k < 2 \)。
现在，我们需要找到 \( k \) 的取值范围，使得 \( k < 1 \) 和 \( k < 2 \) 都成立。这两个不等式的交集是 \( k < 1 \)。
因此，\( k \) 的取值范围是 \( k < 1 \)。这表示对于任意 \( t \in [1/2, 2] \)，只要 \( k < 1 \)，不等式 \( (k-2)t^2 - 2t + k-2 < 0 \) 都成立。
追问可是t=1/2不一定是最小值吧，不用结合对称轴/开口方向等讨论吗？
追答我们的不等式是 (k-2)t² - 2t + k - 2 0，那么二次函数有两个不相等的实根，开口向上，不等式在两个根之间成立。
2. 如果 Δ = 0，那么二次函数有一个实根，开口向上，不等式在根的左右两侧成立。
3. 如果 Δ < 0，那么二次函数没有实根，开口向上，不等式在整个实数范围内成立。
因为我们希望不等式在 t∈[1/2, 2] 内成立，所以我们只关心 Δ ≤ 0 的情况。将 Δ 替换为 -4k² + 16k - 12 并解方程：
-4k² + 16k - 12 ≤ 0
简化方程，除以-4：
k² - 4k + 3 ≥ 0
现在，我们可以求解这个二次不等式。我们可以将其因式分解为：
(k - 1)(k - 3) ≥ 0
现在，我们考虑各个因子的正负性：
1. (k - 1) ≥ 0 当且仅当 k ≥ 1。
2. (k - 3) ≥ 0 当且仅当 k ≤ 3。
为了满足不等式 k² - 4k + 3 ≥ 0，k 必须满足以下条件之一：
1. k ≥ 3
2. k ≤ 1
综合上述条件，k 的取值范围是 k ≥ 3 或 k ≤ 1。这表示 k 可以小于等于1或大于等于3，以使不等式 (k-2)t² - 2t + k - 2 < 0 对于任意 t ∈ [1/2, 2] 都成立。