f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0,试证：存在ξ∈（0，1），使f``(ξ)=2f`(ξ)/1-ξ.

Question

f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0,试证：存在ξ∈（0，1），使f``(ξ)=2f(ξ)/1-ξ.

Answer 1

由条件，存在η∈(0,1)，满足f'(η)=0。
令G(x) = (1-x)²f'(x)，则G(η) = G(1) = 0
所以，存在ξ∈(η,1)，使G'(ξ)=0，即(1-ξ)²f''(ξ)-2(1-ξ)f'(ξ)=0
由于ξ<1，所以(1-ξ)f''(ξ)-2f'(ξ)=0，即f''(ξ)=2f'(ξ)/(1-ξ).