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齐次线性方程组同解的充要条件证明
两个
齐次线性方程组同解的充要条件
答:
系数矩阵行向量组等价
。两个齐次线性方程组有相同的解集,那么解向量一定可以通过线性组合得到,也就是说,系数矩阵行向量组一定可以通过初等变换化为相同的行最简形矩阵,而行最简形矩阵是等价的,所以两个齐次线性方程组同解的充要条件是系数矩阵行向量组等价。
齐次方程的
通解是怎样
证明
的?
答:
设x0是非
齐次线性方程组
Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,
证明
1.x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量 2.AX=b的任意解X可表示成:X=k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)证明: (1...
线性
代数中,两个
齐次方程同解的条件
答:
1、齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数
。推论:齐次线性方程组仅有零解的充要条件是r(A)=n。2、若x是齐次线性方程组的一个解,则kx也是它的解,其中k是任意常数。3、若x1,x2是齐次线性方程组的两个解,则x1+x2也是它的解。4、对齐次线性方程...
考研高代
齐次线性方程组同解条件证明
答:
两个齐次方程组 AX=0 与 BX=0 同解 <=> 两个方程组的系数矩阵A与B的行向量组等价 <=> 存在可逆矩阵P, 满足 PA=B 常用必要
条件
:
齐次线性方程组同解
, 则 系数矩阵的秩相同
...
证明齐次线性方程组
ABX=0与BX=0
同解的充要条件
是
答:
AB=A(B1,B2,.,Bs)=(AB1,AB2,.,ABs)=(0,0,.,0)ABi=0 所以 B的列向量Bi都是AX=0的解.以上过程步步可逆,所以 AB=0
的充要条件
是B的每个列向量均为
齐次线性方程组
AX=0的解。若a1a2...线性相关 则存在不全为0的数使得k1a1+...+kmam=0 所以A(k1a1+...
齐次线性方程组
有
解的充
分必要
条件
是什么?
答:
推导过程:常数项全为0的n元线性方程组 称为n元
齐次线性方程组
。设其系数矩阵为A,未知项为X,则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r,则它的方程组的解只有以下两种类型:当r=n时,原方程组仅有零解;当r<n时,有无穷多个解(从而有非零...
齐次线性方程
有
解的充要条件
是k1+k2+kn=0 非齐次和为1呢?
答:
齐次线性方程
有
解的充要条件
是k1+k2+kn=0,非齐次和为1是因为如果齐次
方程组
只有零解,说明r(A)=n(其中r(A)为矩阵A的秩),对应的非齐次方程组有如下两种情况:1、当r(A)=r(A,b)=n时,说明非齐次方程组有解,且是唯一的。2、当r(b)不等于r(A,b)时,非齐次方程组无解。非齐次...
等价矩阵对应的
齐次线性方程组
一定
同解
吗?
答:
1.
齐次线性方程组同解
充要条件↹对应矩阵A,B的行向量组等价↹存在可逆阵P,使PA=B2.A,B互为等价矩阵
的充要条件
(需要两个条件)↹①矩阵同型②秩相等3.由此可以看出,向量等价的条件很高,等价矩阵只要秩相等,同型即可。单位矩阵是可以变成任何一个满秩矩阵的。所以等价矩阵对应的齐次线性方程组不一定同解。
齐次线性方程组
有
解的充要条件
是什么?
答:
齐次线性方程组
总归有解, 至少有零解。非齐次线性方程组有
解的充要条件
是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。
齐次方程组
与非齐次方程组等价吗?
答:
两
齐次线性方程组
Ax=0和Bx=0,两者
同解的充
分必要
条件
是A的行向量组与B的行向量组等价。
证明
的过程与方法与齐次方程组是类似的。两个不同解的差是导出组AX=0的非零解,说明AX=0的基础解系至少含一个解向量。从非齐次线性方程组解的结构:一个特解与到出租的基础解系的某一线性组合的和。
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