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矩阵ααT的特征值
α为n阶单位列向量
ααT的特征值
为什么是1,0,0,0…?不应该是n,0,0...
答:
则其
特征值
为 1, 0, 0, ..., 0。例如 α = (cost, sint)^T,
ααT
= [(cost)^2 costsint][sintcost (sint)^2]其秩 r(ααT) = 1, 其迹 tr(ααT) = 1, 故特征值为 1, 0.
a和a
t的特征值
和特征向量
答:
其中
α
是A的特征值,不是A
T的特征值
,所以无法继续运算,也就是说,一般情况下ATA和A的特征值是没有关系的。但如果A和AT有相同的特征向量,也就是A=AT,即A为实对称
矩阵
,那么ATA=A²,此时它的特征值等于A的特征值的平方λ².
a是任意矩阵,aa^
T
型
矩阵的特征值
与a矩阵的特征值有什么关系?
答:
记d为A的特征值,s为AA^
t的特征值
,那么必然有:min(s) <= min(d^2) <= max(d^2) <=max(s),即A的:最小奇异值<=最小特征值的模<=最大特征值的模<=最大奇异值。
A^TA
矩阵的特征值
有什么性质?
答:
这是因为 A与A^
T
尽管
特征值
相同, 但它们
的特征
向量不一定相同 这可给出反例: A=[1 -1;2 4]tr 是 trace (迹) 的缩写 tr(A^TA)= ∑∑aij^2 证明: 将A表示成列向量的形式 (a1,...,an) 可得.tr(A^TA) = a1^Ta1+... +an^Tan = ∑∑aij^2 ...
ATA
的特征值
和A的特征值有什么关系?
答:
(AT)A
α
=(AT)λα=λ(AT)α 其中α是A的特征值,不是A
T的特征值
,所以无法继续运算,也就是说,一般情况下ATA和A的特征值是没有关系的。但如果A和AT有相同的特征向量,也就是A=AT,即A为实对称
矩阵
,那么ATA=A²,此时它的特征值等于A的特征值的平方λ².
正交
矩阵的特征值
是多少?
答:
正交
矩阵的特征值
一定是1或-1。(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα = α^
Tα
= (α,α)所以有 λ^2(α,α) = (α,α)又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0 所以 λ^2 = 1 所以 λ = ±1 即正交矩阵的特征值只能是1或-1。正交矩阵的特点如下:1、...
正交
矩阵的特征值
是什么?
答:
设λ是正交
矩阵
A
的特征值
,x是A的属于特征值λ的特征向量,即有 Ax = λx,且 x≠0。两边取转置,得 x^TA^
T
= λx^T 所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx,因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E,所以 x^Tx = λ^2x^Tx,由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数,故 λ^2=1,所以 λ=1或-1。
矩阵的
秩 迹
特征值
答:
显然 R(aa^
T
)=1 tr(aa^T)=|a|^2=1 注意到 aa^Ta=|a|^2a=a,因此aa^T有一个
特征值
为1,其余n-1个特征值全为零.(2)由前一题结论可知R(E-aa^T)=n-1,tr(E-aa^T)=n-tr(aa^T)=n-1 特征值有一个0,其余n-1个全为1 ...
什么是正交
矩阵的特征值
?
答:
正交
矩阵的特征值
:设λ是正交矩阵A的特征值,x是A的属于特征值λ的特征向量。即有Ax=λx,且x≠0。两边取转置,得x^TA^
T
=λx^T,所以x^TA^TAx=λ^2x^Tx。因为A是正交矩阵,所以A^TA=E。所以x^Tx=λ^2x^Tx。由x≠0知x^Tx是一个非零的数,故λ^2=1,所以λ=1或-1。注意:...
设A=(a1,a2,...,an)属于R^n(ai不全为零),求
矩阵
(A^
T
)A
的特征值
与...
答:
由于 A^TA 是实对称
矩阵
(可对角化), 所以A^TA只有一个非零特征值.而 (A^TA)A^T = A^T(AA^T) = (a1^2+...+an^2)A^T 所以 A^T 是 A^TA 的属于特征值 a1^2+...+an^2 的特征向量.所以 A^TA
的特征值
为 a1^2+...+an^2, 0,...,0.再由 A^TAx=0 与 Ax=0 同...
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