在上一讲中，我们回顾了群的基本概念，从同态映射和同构的定义，到群在二维和三维空间中的具体示例。现在，让我们进一步探讨群表示论，它如何将抽象的群结构转化为具体的矩阵形式，以及在物理中的应用。
一、群表示的入门
群表示是群理论的核心，它将群元素映射到线性空间上的可逆线性变换。对于群和线性空间V，群元的乘法通过矩阵运算得以体现，如群乘法G中的元素a作用在V上，我们有矩阵运算Aa。在数域F上，选取基后，群元的矩阵形式与群元素一一对应，将抽象的群结构具体化。
例如，对于群G = {e, a}，其1维表示可能如下所示：
二、表示的等价与可约性
群表示的等价性是通过可逆矩阵T来定义的，如果存在T使得T-1AT=新表示B，则称A和B是等价的。不可约表示则描述了那些不能进一步分解为更低维子表示的表示形式，如5维表示分解为2维和3维的例子。
李群的现代视角
李群不仅要求群结构与流形性质的统一，其高维表示如单位四元数，为我们理解电子自旋提供了关键。对于电子（自旋1/2）和光子（自旋1）这样的粒子，它们分别对应2阶和3阶矩阵，这是量子物理中角动量量子化的体现。
在物理理论中，如标准模型（SM），不同的群描述了不同的力，如电磁力对应于3维表示，而弱相互作用和电弱统一对应于其他群的表示。这些群表示的直积不变性，对应着守恒定律，如规范玻色子的数量。
总结与应用
群表示论是理论物理中不可或缺的工具，它揭示了对称性与守恒定律的内在联系，帮助我们理解粒子的自旋性质。从数学的抽象世界到物理的实证世界，群表示论为我们构建了一个桥梁，连接了连续对称变换与量子世界的离散特征。通过深入研究群的高维表示，我们能够揭示自然界的奇妙规律，例如在粒子物理学中的角动量直积解。