设A,B都是m*n矩阵,且r(A)+r(B)<n,求证齐次线性方程组Ax=0和Bx=0有非零的公共解

如题所述

第1个回答 2019-03-05

设n-r（A）=s，n-r（B）=t，则s+t＞n，
Ax=0有s组线性无关的解，设为a1，……，as
而Bx=0有t组线性无关的解，设为b1，……，bt，
由于s+t大于n，因此a1，……，as，b1，……，bt线性相关，因此a1可以由a2，……，as，b1，……，bt线性表示，即存在实数k2，……，ks，l1，……，lt，使得
a1=k2a2+……+ksas+l1b1+……+ltbt，
由于a1，……，as线性无关，因此l1，……，lt不能全部为0，上式写为
a1-（k2a2+……+ksas）=l1b1+……+ltbt，
则此为两个方程组的非零公共解

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