函数凹凸问题

Question

求解，求过程

Answer 1

设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),

若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。
如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。
设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有
f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）

这个定义从几何上看就是：
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如

如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;[1-2]

Answer 2

y'=[x²+1-2x(x-1)]/(x²+1)²=[-x²+2x+1]/(x²+1)²
y"=[(x²+1)(-2x+2)-4x(-x²+2x+1)]/(x²+1)^3
=2[x^3-3x²-3x+1]/(x²+1)^3
=2(x+1)(x²-4x+1)/(x²+1)^3
在x=-1左边，y"<0,
在右边， y">0
所以左凸右凹
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