物理竞赛 角动量守恒

Question

质量皆为m的两珠子可在光滑轻杆上自由滑动，杆可在水平面内绕过O点的光滑竖直轴自由旋转.原先两珠对称的位于O点两端，与O相距a，在t=0时刻，对杆施以冲量矩，使杆在极短时间内以角速度w绕竖直轴旋转，求:t时刻角速度和两珠距O点的距离r

Answer 1

角动量守恒公式
2ma^2ω=2mr^2w…………①（a已知ω已知，r,w是后来某一时刻的距离和角速度）
能量守恒公式
ma^2ω^2=mr^2w^2+v^2…………②（v是该时刻沿杆子的速度）

对时间有dr=v*dt…………③（d表示接近于0的意思，即极小的r和t）

①变形为 a^2ω/r^2=w 代入②式得
a^2ω^2=a^4ω^2/r^2 +v^2

变形得 a^2ω^2(1-a^2/r^2)=v^2 两边开方得
aω√￣（1-a^2/r^2)=v (抱歉，根号打不好）

将③式代入去掉v得 aω*dt=dr/√￣（1-a^2/r^2)

右边继续变形 上下都乘以r得
aω*dt=r*dr/√￣（r^2-a^2) 即是
2aω*dt=dr^2/√￣（r^2-a^2)

两边积分得
2aωt=2*√￣(r^2-a^2)

得r=√￣(a^2ω^2t^2+a^2)
角速度 w=a^2ω/r^2=ω/(ω^2t^2+1)

应该就是这样了本回答被提问者采纳

Answer 2

宇宙自然生命简史，你的科普入门手册丨科学声音出品，必属精品