100分 在线等 定积分求极限

Question

lim(n→∞)[1/(n^2)](根号n+根号2n+……+根号n^2)

答案是2/3 请给出详细解答，谢谢！
lim ∑(i=1 ,n) √(i/n)·(1/n)
n→∞

=∫(0 ,1) √x dx

请回答者详细说明这一步是怎么来的.谢谢.

Answer 1

解题说明：若每一项可提取一个1/n，提出1/n后剩下的可表示为一个通式，则可用定积分的定义求解，把和式的极限转化成相应的定积分。

lim(√n+√2n+……+√n^2)/(n^2)
n→∞

=lim[(√n+√2n+……+√n^2)/n]·(1/n)
n→∞

=lim[(1+√2+……+√n)/√n]·(1/n)
n→∞

=lim ∑(i=1 ,n) √(i/n)·(1/n)
n→∞

=∫(0 ,1) √x dx

=2/3 ·x^(3/2) |(0 ,1)

=2/3 - 0

=2/3

注：①∑(i=1 ,n) 表示i 的取值是从1到n；
②∫(0 ,1) 表示以0为下限，1为上限的定积分。

Answer 2

1/(n^2)](根号n+根号2n+……+根号n^2)
=1/(n)](根号1/n+根号2/n+……+根号n/n)
根据定积分的定义
原式=根号x从0到1的积分=2/3本回答被提问者采纳

Answer 3

=(1/n)*(根号(1/n)+根号(2/n)+……+1)
=根号x从0到1的积分
=2/3