线性方程组的基础解系

Question

如题所述

Answer 1

将分为两种情况

齐次线性方程我们说过很多次，这次我们要说的是更普通的齐次线性方程，不是方阵，就是普通的矩阵

接下来我们来求解这个

其中 （一维列向量）称做 解向量

当方程出现非零解的时候，既有 无穷多解 的时候：

解集 最大无关组 基础解系

故有：

问题的关键在于：

我们来做一道题目：

我们先得到系数矩阵 A 的秩： 由于有 4 个未知量，所以 基础解系 中包含 4 - 2 = 2个向量

此时可以将 原方程组 用 行阶梯形矩阵 表示：

我们把两个方程中的 共同变量 （ ）取出来，分别取线性无关向量：

将 x2, x3 带入方程中：

求得两个 解向量 ：

所以得到该线性方程的通解是：

以后所有的求 齐次线性方程组的基础解系 都用此方法

现在我们回到更一般的情况：

当非齐次线性方程有无穷解的时候求通解

首先我们得知道该方程是不是有无穷多解，假设我们有方程 如果方程有无穷多解则：

非齐次线性方程的基础通解 = 特解 + 齐次线性方程的解

现在我们举一个具体的例子：

首先写出 增广矩阵 ：

经过初等行列变化以后得到阶梯矩阵：

接下来我们来求它的齐次通解（也就是将等式右边化为 0）：

按照之前的方法，首先给出 3 个 自由变元 的取值：

带入求得三个齐次方程的 解向量

最后我们求原来线性方程的特解：

特解的方法很简单就是将之前在解 齐次方程 设置的 自由变元 设为 0 就行，我们之前设置的是 ，得到一个特解：

最后我们得到原线性方程的通解：

特解 + 齐次线性方程的解 =