欢迎来到知识的殿堂，今天我们将深入探讨第六讲：极限的运算法则，为你的学习之路添砖加瓦。无论你是新同学还是老朋友，都请静下心来，让我们一起揭开极限的神秘面纱。
首先，我们来了解一下函数极限的运算法则，这不仅适用于函数，同样适用于数列。记得，理解是学习的关键，不要仅仅依赖记忆力，反复琢磨才是硬道理。我们总结的两个字法则是：反复和琢磨。
法则一，简单明了：如果 lim f(x) = L，那么 f(x) ± g(x) 的极限也是 L ± lim g(x)。通过无穷小与极限的关系，我们可以证明，比如 lim (x^n + a) = L，则 lim (x^n) = L。
法则二，同样直观：如果 lim f(x) = L 和 lim g(x) = M ≠ 0，则 lim (f(x) / g(x)) = L / M。例如，lim (x^n / (x + a))，当 a ≠ 0 时，极限结果为 L / a^n。
法则三，涉及复合函数的极限法则：如果 lim f(g(x)) = L 而 lim g(x) = c，在一定条件下，lim f(x) 在 x → c 时的极限也是 L。通过局部保号性和函数极限的性质，我们能证明复合函数的极限。
接下来，我们通过实例来展示这些法则的运用，从多项式到有理函数，再到极限不存在的情况，让我们一步步深入理解。
例题1：lim (x^2 - 1) / (x - 1)，通过对分母的处理，我们得知极限为 2。
法则四，复合函数的极限，如 lim f(g(x)) = L，当 g(x) → c 时，复合函数极限为 L。在满足特定条件时，这一法则确保了复合函数的极限存在。
法则五，告诉我们函数极限的直观关系：如果函数值随自变量变化增大，那么极限也会相应增大。例如，如果 lim f(x) = L 而 g(x) > f(x)，那么 lim g(x) = L' 时，L' 必定大于 L。
每个法则都是我们理解和解决极限问题的有力工具，希望你能在反复实践中深化理解，让极限的概念更加深入人心。现在，就让我们带着这些工具，继续在知识的海洋中探索吧！