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证:f(x)是R上的函数,则f(x)在其上连续的充要条件是:对任意开集G,点集f∧(-1)(G)={x:f(x)∈G}是开集.
如题所述
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如何判断
一
个
函数连续
?
答:
假设
f:
X->Y是一个拓扑空间之间的映射,如果f满足下面
条件,
就称f是
连续的:对
任何Y
上的开集
U, U在f下的原像f^
(-1)(
U)必是X上的开集。对于一定区间
上的任意
一点,其本身有定义,且其左极限与右极限均存在且相等,称
函数
在这一区间上是连续的。设函数y
=f(x)在
点x0的某个邻域内有定义 。
格奥尔格·康托尔的主要贡献
答:
早在1870年和1871年,康托尔两次在《数学杂志》上发表论文,证明了
函数f(x)的
三角级数表示的唯一性定理,而且证明了即使在有限个间断点处不收敛,定理仍然成立。1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文,把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷的集合情形。为了...
线性泛函的
连续充要条件
有哪些?
答:
一致连续性
条件:
在某些情况下,线性泛函的连续性可以通过一致连续性来描述。一致连续意味着
对于任意
ε > 0,存在δ > 0,使得当 ||x - y|| < δ 时,有 |T
(x)
- T(y)| < ε。这表明泛函在定义域内的变化是均匀受控的。开映射定理条件:在线性泛函的情况下
,连续
性还与开映射定理有关。
两个
连续
定义的等价推导
答:
两个连续定义的等价推导如下:A、F(A的内点)=F(A)的内点。F^-1(B的闭包)包含F^-1(B)的闭包。F(A)
开对任意
A开。
设
f(x)是
定义在R1上只取整数值
的函数
。试
证:
它的
连续点集
为
开集,
不连续...
答:
【答案】:只需如下的提示即可设x0∈E={x:x∈
R,f在x连续
}且f(x0)=n0(整数),由连续性及已知条件可知,存在δ>0,使得对一切x∈O(x0,δ)有
f(x)=
n0,于是f在O(x0,δ
)上连续
。
广义
函数
答:
例
1:函数f(x)在
无穷远处的极限为c。我们可以通过证明
,对于任意
ε>0,存在N,当n>N时,有 |f(k,n) - c| < ε,展示其速降性。 例2:当g(x) = x-
1,
利用极限和连续性的性质,可以证明广义
函数的
定义与具体函数行为相符。【函数类与嵌套关系】在函数类中,收敛性有着严谨的定义:...
一致连续和
连续的
区别是什么?
答:
U在
f
下的原像f^
(-1)(
U)必是
X上的开集
。\x0d\x0a若只考虑实变函数,那么要是对于一定区间
上的任意
一点,函数本身有定义,且其左极限与右极限均存在且相等,则称函数在这一区间上是连续的。\x0d\x0a分为左连续和右连续。在区间每一点都
连续的函数,
叫做函数在该区间的
连续函数
。
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R(x,y)
xlr是什么意思
R是
x等于R
R x 450
R x 450H
R=
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