1. 向量内积的奥秘
向量内积，如同两线段的交汇，是数学中的关键概念。它定义为两个向量对应元素相乘后求和，结果是标量，为我们揭示了向量间的关系。
1.1 点乘与方向解读
向量a与b的内积公式揭示了它们之间微妙的关联：a·b>0，它们基本同向，夹角在0°到90°之间；a·b=0，意味着正交，即垂直；a·b<0，则指向相反，夹角在90°到180°。这个简单的计算，蕴含了丰富的几何信息。
2. 揭秘格拉姆矩阵：向量间关系的桥梁
想象一下，n维空间中k个向量的亲密对话，格拉姆矩阵就是记录它们交谈的密语之书——一个对称的矩阵，由所有两两向量的内积编织而成。
2.1 计算与特性揭示
当我们处理图像的特征映射时，通过flatten和转置技巧，将特征点融合成矩阵，计算出的Gram矩阵就像是每个通道特征点间的“心灵对话”。对角线元素揭示了单个特征图的信息，而矩阵的其余部分则描绘了特征间的关系密度。
2.2 风格迁移中的艺术表达
在风格迁移的深度学习旅程中，Gram矩阵扮演着关键角色。通过比较基准图与风格图的Gram矩阵，我们可以调整基准图像以逐渐接近风格目标，因为Gram矩阵反映了特征之间的相关性，是风格的量化表现。
3. 应用实例：风格的量化比较
例如，如果两个图像的Gram矩阵差异小，意味着它们共享了相似的特征关系，风格相近。通过比较Gram矩阵的差异，我们可以准确地度量艺术风格的异同，这在《艺术风格的神经算法》等论文中得到了详尽阐述。
结语：格拉姆矩阵的魅力
格拉姆矩阵，这一看似平凡的数学工具，却蕴含了向量间的复杂关系和艺术风格的内在逻辑。它如同一座桥梁，连接了向量世界和我们对图像风格的理解，是深度学习中不可或缺的一部分。