第1个回答 2016-08-22
解法一：设此微分方程是y''+py'+qy=f(x)，其中p,q是待定常数，f(x)是待定函数。把y1,y2,y3代入，解得p,q,f(x)。此法麻烦。
解法二：利用二阶非齐次线性微分方程与齐次线性微分方程的解的特点。
y4=y3-y1=e^(-x)是对应的二阶齐次线性微分方程的特解，所以-1是特征方程的根。
y5=y1-y2-y4＝e^(2x)也是二阶齐次线性微分方程的特解，所以2是特征方程的根。
所以二阶齐次线性微分方程的特征方程是(r+1)(r-2)=0，即r²-r-2＝0，微分方程是y''-y'-2y=0。
y6=y1-y5＝xe^x是二阶非齐次线性微分方程的特解，y6''-y6'-2y6＝(x+2)e^x-(x+1)e^x-2xe^x=(1-2x)e^x。
所以所求二阶非齐次线性微分方程是y''-y'-2y=(1-2x)e^x。追问
解法二：利用二阶非齐次线性微分方程与齐次线性微分方程的解的特点。
y4=y3-y1=e^(-x)是对应的二阶齐次线性微分方程的特解，所以-1是特征方程的根。
y5=y1-y2-y4＝e^(2x)也是二阶齐次线性微分方程的特解，所以2是特征方程的根。
所以二阶齐次线性微分方程的特征方程是(r+1)(r-2)=0，即r²-r-2＝0，微分方程是y''-y'-2y=0。
y6=y1-y5＝xe^x是二阶非齐次线性微分方程的特解，y6''-y6'-2y6＝(x+2)e^x-(x+1)e^x-2xe^x=(1-2x)e^x。
所以所求二阶非齐次线性微分方程是y''-y'-2y=(1-2x)e^x。追问
好棒 再问你一个问题哈
我看你写成y6=y1-y5了
这是书上只写了+ ,这样的话不就是y6=y1+y5吗？我看你写成y6=y1-y5也可以，这其中有什么规律吗？
追答加减都可以，y1是非齐次的解，y5是齐次的解，那么y1±y5都是非齐次的解。
因为齐次线性微分方程的一个解乘以任意一个常数后还是齐次的解，所以Y是解，2Y是解，-Y还是解，所以y1-y5=y1+(-y5)，y1是非齐次的解，-y5是齐次的解，相加后是非齐次的解。
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