高数应用题注水入深8米上顶直径8米的正圆锥形容器中.七速率为4m^3/min.当...

Question

高数应用题 注水入深8米上顶直径8米的正圆锥形容器中.七速率为4m^3/min.当水深5米时,其表面上升的速率为多少?

Answer 1

《解法一----微积分的一般解法》这是一道微分应用题(Rate
of
change
with
time)设任意时刻t时,水深h,是平面的半径为r.t时水的体积：V
=（1/3)πr²h根据相似三角形得：锥高/水深
=
锥口半径/水面半径8/h
=
4/r,h
=
2r∴V
=
(1/3)πr²h
=(1/3)π(h/2)²h=
(1/12)πh³dV/dt
=
(1/4)πh²dh/dtdh/dt
=
4(dV/dt)/(πh²)=
4*4/(25π)=
16/25π≈0.204
(m/min)
《解法二----初等代数解法》某一瞬间水面上升的速度
=
这一瞬间水的体积增加量/这一瞬间水面的面积=
4/(πr^2)
=
4/(π2.5^2)
=
16/25π
(m/min)[说明：根据相似比：锥高/水深
=
锥口半径/水面半径,得：r=2.5m)