已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=ax2+bx+c满足a＞b＞c...

Question

已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=ax2+bx+c满足a＞b＞c，且a+b+c=0（a，b，c∈R）． （1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B； （2）设A1，B1是A，B两点在x轴上的射影，求线段A1B1长的取值范围； （3）求证：当x≤-3时，f（x）＜g（x）恒成立．

Answer 1

解：（1）证明：由y=ax+by=ax2+bx+c得ax2+（b-a）x+c-b=0①
△=（b-a）2-4a（c-b）=（b+a）2-4ac
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞0，c＜0
∴△＞0
∴①有两个不等的根
∴函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴ca＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴ca＜-12．
∴-2＜ca＜-12．
设A1（x1，0）B1（x2，0）
∴|A1B1|=|x2-x1| =(x2+x1)2-4x1x2
=(a-ba)2-4c-ba=(ca-2) 2-4，
易得94＜|A1B1|2＜12
即32＜|A1B1|＜23．
（3）令h（x）=ax2+（b-a）x+c-b，x≤-3，
对称轴为x=a-b2a=2a+c2a=1+c2a＞0，
∴h（x）在（-∞，-3]上单调递减，且h（-3）=（2+3）（2a+c）=（2+3）a（2+ca）＞0
∴h（x）=ax2+（b-a）x+c-b≥0恒成立，x≤-3，
即当x≤-3时，f（x）＜g（x）恒成立．