二项式定理中，二项式系数和为2的n次方，那项的系数之和是多少啊

Question

如题所述

Answer 1

二项式模型：（1+x)^n
（1+x)^n展开式=c(n,0)1^n+c(n,1)1^(n-1)x+(n,2)1^(n-2)x^2+......+c[n,(n-1)]1^1n^(n-1)+c(n,n)1^0x^n
上面：（1+x)^n展开式中，当x=1时
c(n,0)1^n+c(n,1)1^(n-1)x+(n,2)1^(n-2)x^2+......+c[n,(n-1)]1^1n^(n-1)+c(n,n)1^0x^n=c(n,0)+c(n,1)+(n,2)+......+c[n,(n-1)]+c(n,n)刚好是二项式(1+x)^n各项的系数和
将x=1代入（1+x)^n=c(n,0)1^n+c(n,1)1^(n-1)x+(n,2)1^(n-2)x^2+......+c[n,(n-1)]1^1n^(n-1)+c(n,n)1^0x^n得
2^n=c(n,0)+c(n,1)+(n,2)+......+c[n,(n-1)]+c(n,n)
结论得到证明