有理函数的积分 问题 高等数学

Question

如题所述

Answer 1

要彻底搞清楚有理函数部分分式问题的朋友请耐心细读。
⑴理论上可以证明，任何一个整系数多项式f(x)都可以分解成若干一次因式和二次因式的乘积。注意到这些一次因式中可能有相同的、二次因式中也可能有相同的，f(x)的因式分解应写成一般形式
f(x)＝
(a1x+b1)^(p1) (a2x+b2)^(p2) … (aix+bi)^(pi)
(c1x^2+d1x+e1)^(q1) (c2x^2+d2x+e2)^(q2)…
(cjx^2+djx+ej)^(qj). ①
其中p1、p2、…、pi、q1、q2、…、qj是大于等于零的整数。
⑵对于有理函数g(x)/f(x)进行部分分式，可以假定分子多项式的次数小于分母多项式的次数（称之为“有理真分式”）。（分子次数大于等于分母次数时，总可以通过带余除法将其化为一个多项式+有理真分式的形式）。
对有理真分式g(x)/f(x)进行部分分式，总是用待定系数法先设出各最简分式的和，然后通过比较等式两边分子x的同次幂的系数得出方程组，再解方程组求出各个待定系数，以完成部分分式，这个是大家都熟知的。只是在把g(x)/f(x)设为最简分式时，需要注意两点：
第一，若分母f(x)分解因式之后含有因式(ax+b)^k时，所设g(x)/f(x)应该含有k个最简分式的和：
A1/(ax+b)+A2/(ax+b)^2+…+Ak/(ax+b)^k，
而不是只有一个Ak/(ax+b)^k ！
第二，与上一点类似，若f(x)分解因式后含有二次因式(ax^2+bx+c)^k，则所设g(x)/f(x)应含有k个最简分式：
(B1x+C1)/(ax^2+bx+c)+(B2x+C2)/(ax^2+bx+c)^2+…+(Bkx+Ck)/(ax^2+bx+c)^k，
而不是只含有分母是(ax^2+bx+c)^k的那一项！